Sul teorema ergodico. (Q2619687)

Der Ergodensatz (vgl. \textit{G. D. Birkhoff, B. O. Koopman}, Recent contributions to the ergodic theory, Proceedings USA Academy 18 (1932), 279-282; F. d. M. 58) behauptet unter bekannten Bedingungen die Existenz des Grenzwertes von \[ \frac {1}{2 \tau } \int _{-\tau }^{\tau } f(P_t) dt \] mit \(\tau \to \infty \) für fast jedes \(P\) (\(P_t=\) Lage von \(P\) nach der Zeit \(t\)). Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist der Beweis des folgenden von \textit{Levi-Civita} vermutetten Analogons: Wenn \(\Gamma _{\tau }\) eine Stromröhre ist, die vom einen Ende zum anderen von gewissen Punkten in der Zeit von \(t=-\tau \) bis \(t=+\tau \) beschrieben wird, so existiert der Grenzwert \[ \frac {1}{m \Gamma _{\tau }} \int _{\Gamma _{\tau }} f(P) dm \] mit \(\tau \to \infty \). Der Beweis ist nicht kurz und macht Gebrauch von Resultaten von \textit{Birkhoff} wie von sorgfältig ausgearbeiteten Manipulationen mit iterierten Integralen. Es ist zu beachten, daß dieser Satz ein unmittelbares Korollar zum Mittelergodensatz ist (vgl. \textit{Birkhoff, Koopman}, l. c.), für den es jetzt einfache Beweise gibt.