On the stresses in a perforated strip. (Q2619743)

Für einen ebenen Streifen von konstanter Breite und unbegrenzter Länge, der ein kreisförmiges Loch (Mittelpunkt auf der Mittellinie des Streifens, Durchmesser ein Bruchteil der Streifenbreite) besitzt, soll der Spannungszustand bestimmt werden, wenn die geradlinigen Ränder spannungsfrei sind, und auf dem Umfang des Loches die Normalspannung durch die \textit{Fourier}reihe \[ \sum _{n=0}^{\infty } S_{2n} \cos 2n \vartheta \] und die Tangentialspannung durch die \textit{Fourier}reihe \[ \sum _{n=1}^{\infty } T_{2n} \sin 2n \vartheta \] vorgeschrieben ist, unter \(\vartheta \) den Winkel mit der Mittellinie des Streifens verstanden. Nach dem Vorgange von \textit{Howland} (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 1236) bestimmt Verf. zwei Folgen von \textit{Airy}schen Spannungsfunktionen \(\chi _{2P}\) bzw. \(\chi ''_{2p}\), die die Bedingung erfüllen, daß die geradlinigen Ränder des Streifens spannungsfrei werden, während sie im Mittelpunkt des Loches kennzeichnende Singularitäten besitzen. Aus ihnen baut er dann mit zunächst unbestimmt bleibenden Koeffizienten \(A_{2p}\), \(B_{2p}\) die \textit{Airy}sche Funktion \[ \chi (x,y) = \sum _{p=0}^{\infty } (A_{2p} \chi _{2p} + B_{2p} \chi ''_{2p}) \] auf. Es ergeben sich daraus für die Normalspannung und die Tangentialspannung auf dem Rande des Kreisloches \textit{Fourier}reihen der gleichen Gestalt, wie sie vorgeschrieben sind, und die Gleichsetzung beider Reihen führt zu einem System unendlich vieler linearer Gleichungen, aus denen man bei vorgeschriebenen \(S_{2n}\), \(T_{2n}\) die \(A_{2p}\), \(B_{2p}\) berechnen kann, und zwar läßt sich die Auflösung des Systems in verhältnismäßig einfacher Weise erreichen. Im zweiten Teil untersucht Verf. dann die Konvergenz der für \(\chi (x,y)\) angesetzten Reihe, indem er abschätzt, wie die \(A_{2p}\), \(B_{2p}\) mit wachsendem Index abnehmen. Ist \(\lambda \) das Verhältnis des Lochdurchmessers zur Streifenbreite, und gilt \[ |S_0| < \varkappa \lambda ^2, \quad |S_{2n}| < \varkappa \lambda ^{2n}, \quad |T_{2n}| < \varkappa \lambda ^{2n}, \] unter \(\varkappa \) eine Konstante verstanden, so kann Verf. zeigen, daß für \(\lambda < 0,4\) Konvergenz statthat; doch läßt sich, wie er meint, diese Schranke sicher noch erhöhen.