Über einen Löwenheimschen Satz. (Q2619881)

Diese Arbeit enthält einen vereinfachten Beweis des früher von \textit{L. Löwenheim} (1915; F. d. M. 45, 108 (JFM 45.0108.*)) bewiesen Satzes, daß zu jedem Zählausdruck \(A\) ein binärer \(B\) gefunden werden kann, so daß \(A\) dann und nur dann allgemeingültig ist, wenn \(B\) es ist. Treten in \(A\) die Funktionsvariablen \(F_1,\cdots, F_l\) auf, wobei \(F_{\lambda }\) genau \(r_{\lambda }\) Leerstellen besitzt, so zeigt Verf., daß ein Ausdruck \(B\) der gewünschten Art entsteht, wenn man in \(A\) statt jedes Funktionszeichens \(F_{\lambda }(x_1, x_2, \cdots, x_{r \lambda })\) die Formel \[ (u)(H_1 (x_1,u) \& H_2 (x_2,u) \& \cdots \& H_{r^{\lambda }}(x_{r \lambda }, u) \rightarrow G_\lambda (u)) \] einführt. Es ist unmittelbar klar, daß \(B\) allgemeingültig ist, falls \(A\) es ist; man hat also nur die Umkehrung zu zeigen. Das macht Verf. dadurch, daß er von der Allgemeingültigkeit von \(B\) im Bereiche \(I^r\) aller geordneten \(r\)-tupel der Elemente eines Bereiches \(I\) ausgeht und daraus die Allgemeingültigkeit der Aussage \(A\) in \(I\) ableitet. Weiter macht er darauf aufmerksam, daß man die Kardinalzahl \(m_A\) der kleinsten Bereiche, worin \(A\) nicht mehr allgemeingültig ist, bestimmen kann, wenn man die entsprechende Zahl \(m_B\) kennt. Endlich bemerkt er, daß seine Konstruktion vor der \textit{Löwenheims}chen den Vorzug hat, daß \(A\) dann und nur dann erfüllbar ist, wenn \(B\) es ist. In einem Zusatz zeigt Verf. weiter, daß sein Beweisverfahren, das zur mengentheoretischen Prädikatenlogik gehört, gegenüber dem \textit{Löwenheims}chen auch den Vorzug hat, daß es sehr leicht zu einem finiten Beweis im Sinne der axiomatischen Prädikatenlogik umgeformt werden kann. Er beweist also, daß \(A\) dann und nur dann im Prädikatenkalkül ableitbar ist, wenn \(B\) es ist. Er beweist zuerst den Hilfssatz, daß, wenn \(F\) eine ableitbare Formel ist, auch dijenige Formel \(F^{(s)}\) ableitbar ist, die aus \(F\) entsteht, wenn jedes Individuumsymbol darin durch \(s\) verschiedene ersetzt wird. Durch Anwendung dieses Hilfssatzes für \(s = r\) auf \(B\) zeigt er, daß wenn \(B\) ableitbar ist aus dem Axiomensystem des Prädikatenkalküls, wenn die Axiome der Identität hinzugefügt werden, so auch \(A\) in demselben Sinne ableitbar ist. Da aber das Symbol der Identität nicht in \(A\) auftritt, folgt hieraus (vgl. \textit{D. Hilbert, P. Bernays}, Grundlagen der Mathematik I (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 17), S. 382), daß \(A\) schon innerhalb des Prädikatenkalküls allein ableitbar ist.