Le théorème d'unicité de M. Lusin pour les espaces abstrait. (Q2619957)

Wird jedem endlichen System von Indices \((n_1, n_2, \cdots, n_k)\) eine Menge \(E_{n_1,n_2,\cdots,n_k}\) zugeordent, so heißt das so definierte Mengensystem ein ``système déterminant'' (nach \textit{Hahn: ``Suslins}ches Schema''). Dieses wird ferner ``système d'unicité'' (nach \textit{Hahn}: ``Disjunktes \textit{Suslins}ches Schema'' genannt, wenn für irgend zwei unendliche, voneinander verschiedene Folgen von natürlichen Zahlen \(m_1, m_2, m_3, \cdots \text{ und} \;n_1, n_2, n_3, \cdots \) stets \[ \prod _{k=1}^{\infty } E_{m_1,m_2,\cdots, m_k} E_{n_1,n_2,\cdots,n_k} = 0 \] ist. Als ``Kern'' des \textit{Suslins}chen Schemas \(\{E_{n_1,n_2,\cdots,n_k}\}\) wird die Menge \[ \sum _{n_1,n_2,n_3,\cdots } E_{n_1}E_{n_1,n_2}E_{n_1,n_2,n_3,\cdots } \] bezeichnet, wobei man die Summation über alle unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen \(n_1,n_2,n_3,\cdots \) zu erstrecken hat. Ist nun \(F\) eine gegebene Familie von beliebigen Mengen, so bezeichnet Verf. mit \(A(F)\) bzw. \(U(F)\) die Familie aller Mengen, die Kerne \textit{Suslins}cher Schemata bzw. disjunkter \textit{Suslins}cher Schemata von Mengen der Familie \(F\) sind. Ferner bezeichnet Verf. mit \(B(F)\) die kleinste Mengenfamilie \(\Phi \), welche \(F\) enthält sowie die Summe von endlich oder abzählbar vielen fremden Mengen und den Durchschnitt von abzählbar vielen Mengen, falls die einzelnen Mengen zu \(\Phi \) gehören. Die Mengen von \(B(F)\) nennt er auch ``\textit{Borels}che Mengen relativ zu \(F\)''. Außerdem bezeichnet er mit \(R(F)\) die Familie aller Mengen, die Differenzen von zwei Mengen aus \(F\) sind. Für beliebige Mengensysteme \(F\) werden nun die daraus abgeleiteten Mengenfamilien untersucht. Die Summe von endlich oder abzählbar vielen, zueinander fremden Mengen und der Durchschnitt von abzählbar vielen Mengen gehören zu \(U(F)\), wenn dies für die einzelnen Mengen der Fall ist. Deshalb ist dann und nur dann \(B(F) < U(F)\), wenn \(F < U(F)\). Ferner ist stets: \(UU(F) = U(F)\); ebenso auch (was nach \textit{Lusin} bereits bekannt ist): \(AA(F) = AS(F).\) Nun wird noch eine Bedingung eingeführt, die dem \textit{Cantors}chen Durchschnittsatz entspricht. Die Familie \(F\) genügt, wie Verf. sagt, der ``Bedingung \(C\)'', wenn für jede unendliche Folge von Mengen \(E_1,E_2,E_3,\cdots \text{ aus}\^^MF\), bei welcher \(E_1E_2\cdots E_n \neq 0 (n = 1,2,3,\cdots )\) ist, auch \[ \prod _{n=1}^\infty E_n \neq 0 \] gilt. Dann beweist Verf. (auf Grund einer Idee von \textit{Lusin}) den ``\textit{Suslins}chen Satz für abstrakte Mengen'': Ist \(F\) eine der Bedingung \(C\) genügende Mengenfamilie, für welche \(R(F) < B(F)\), und sind \(E\) und \(H\) zwei zueinander fremde Mengen aus \(A(F)\), dann existieren zwei zueinander fremde Mengen \(M,N\) aus \(B(E)\), so daß \(E < M\) und \(H < N\) gilt. Darnach beweist Verf. das \textit{Lusins}che ``théorème d'unicité'' für abstrakte Mengen: Ist \(F\) eine der Bedingung \(C\) genügende Mengenfamilie, für welche \(R(F) < B(F)\) und \(F < U(F)\) gilt, so ist \(U(F) = B(F).\) Schließlich wird gezeigt, daß für die Familie \(F\) aller abgeschlossenen Mengen eines kompakten Raumes außer der Bedingung \(C\) auch \(R(F) < B(F)\) erfüllt ist.