Sur la définition du diamètre et de l'écart transfini d'un ensemble. (Q2619972)

Verf. ordnet einer abgeschlossenen und beschränkten ebenen Punktmenge \(E\) zwei Folgen \(\delta _n\) und \(t_n\) zu, die so definiert sind: \( \zeta = {\zeta _\nu }(\nu = 0,\cdots,n)\) sei ein System von irgend \(n + 1\) Punkten auf \(E\); man bilde die Produkte \[ \Delta _j(\zeta ) = |\zeta _j - \zeta _0| \cdots |\zeta _j - \zeta _{j-1}||\zeta _j - \zeta _{j+1}| \cdots |\zeta _j - \zeta _n| \] und setze \[ \Delta _n =\underset \zeta \subset {E} {\text{Max}}\^^M\underset {j} {\text{Min}}\;\Delta _j(\zeta ), \;\delta _n = \root n \of {\Delta _n}. \] \(t_{jk}\) bezeichne den Inhalt des Dreiecks \(O\zeta _j\zeta _k\), wobei der Punkt \(O\) zu \(E\) gehören kann oder nicht. Weiter sei \[ T_j(\zeta ) = t_{jo} \cdots t_{jj-1} t_{jj+1} \cdots t_{jn}, \] \[ T_n =\underset \zeta \subset {E} {\text{Max}}\;\underset {j} {\text{Min}} \;T_j(\zeta ), \;t_n = \root n \of {T_n}. \] Wie Verf. an anderer Stelle gezeigt hat, konvergiert \(\delta _n \rightarrow d\), den transfiniten Durchmesser von \(E\) (Bulletin Acad. Polonaise 1933, 281-289; F.d.M. \(60_{\text{I}}\), 185). Hier wird die Konvergenz baider Folgen auf einheitlichem Wege gezeigt, so daß also die der ersten ohne die früher benutzte Beziehung bewiesen wird, die zu der bei \textit{Fekete} (1923; F.d.M. 49, 47) zur Definition des transfiniten Durchmessers dienenden Folge besteht. Der Beweis beruht auf dem Hilfssatz: Wenn eine Folge \({a_n}, a_n \geq 0\), der Bedigung \(a_n \leq a_ka_{n-k} (k=1,2,\cdots,n-1)\) genügt, so konvergiert die Folge \(\root n \of {a_n}\). Den \(\lim t_n\) nennt Verf. ``Ecart transfini de \(E\) par rapport au centre \(O\)''.