Minimalbasis der Quaternionengruppe. (Q2620028)

Durch das Aufstellen einer Minimalbasis der Quaternionengruppe gewinnt Verf. die Möglichkeit einer Parameterdarstellung aller Gelichungen achten Grades, deren galoissche Gruppe die Quaternionengruppe ist. Es muß also für den Körper rationaler Funktionen der Variablen \(x_1,\cdots,x_8\), der gegenüber dieser Gruppe invariant ist, eine Minimalbasis ermittelt werden. Es wird festgestellt, was die drei erzeugenden Elemente der Gruppe \[ \begin{aligned} S_1 &= (x_1,x_2,x_5,x_6)(x_3,x_8,x_7,x_4),\\ S_2 &= (x_1,x_3,x_5,x_7)(x_2,x_4,x_6,x_8),\;S_3 = (x_1,x_4,x_5,x_8)(x_2,x_7,x_6,x_3) \end{aligned} \] für die neuen Veränderlichen \[ \left.\begin{matrix} y_1 = \frac {1}{2}(x_1-x_5),\\ y_2 = \frac {1}{2}(x_2-x_6) \end{matrix} \right \} \text{ usw. } \left. \begin{matrix} y_5 = \frac {1}{2}(x_1+x_5),\\ y_6 = \frac {1}{2}(x_2+x_6) \end{matrix} \right \} \text{ usw. bis}\^^My_8 \] bedeuten. \(y_1,\cdots,y_4\) transformieren sich untereinander; \(y_5,\cdots,y_8\) auch, und zwar wie \(y_1^2,\cdots,y_4^2\). Daher können \(y_5,\cdots,y_8\) z. B. durch die vier Invarianten \(a_0,a_1,a_2,a_3\) ersetzt werden, die definiert sind durch \[ y_5 = a_0 + a_1y_1^2 + a_2y_1^4 + a_3y_1^6 = B(y_1),\;y_6 = B(y_2),\;y_7 = B(y_3),\;y_8 = B(y_4). \] Für \(y_1,\cdots,y_4\) wird nun leicht eine Minimalbasis gewonnen, indem Verf. zuerst eine Basis für den Invariantenkörper bestimmt, der zu dem durch \(s_1\) erzeugten zyklischen Normalteiler gehört (eine Aufgabe, die durch geeigentes Transformieren der \(y_1,\cdots,y_4\) übersichtlich wird), und dann die Bedeutung von \(S_2\) für \(g_1,\cdots,g_4\), die durch zweckmäßige Transformation aus der eben gewonnenen Basis hervorgehen, untersucht. Wieder wird die Aufgabe, die Minimalbasis aufzustellen, durch geeignetes Transformieren übersichtlich. Die versprochene Parameterdarstellung ist im Prinzip mit erledigt; es müssen ja nur die symmetrischen Grundfunktionen berechnet werden. Verf. gibt aber noch methodische Vereinfachungen an. Schließlich geht er auf ein numerisches Beispiel von \textit{Mertens} ein (1902; F. d. M. 33, 102 (JFM 33.0102.*)).