Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem. (Q2620046)

Die Verf. beschäftigen sich mit dem asymptotischen Verhalten der Anzahl \(f(n)\) der verschiedenen abelschen Gruppen der Ordnung \(n\) für große \(n\); es gilt: \[ \sum _{k=1}^n f(k) = An + O(\sqrt {n}) \] mit \[ A = \zeta (2) \zeta (3) \zeta (4) \cdots \;(2 < A < 2,5). \] Im Mittel gibt es demnach \(A\) verschiedene abelsche Gruppen \(n\)-ter Ordnung. Verf. beweisen dies als Sonderfall einer zahlentheoretischen Abschätzung. Es bedeute \(f_\lambda (n)\) diejenige Zahl, die angibt, auf wieviele Arten sich \(n\) in ein Produkt von Primzahlpotenzen zerlegen läßt, deren Exponenten \(\geq \lambda \) sind. Die Anzahl \(f(n)\) ist dann bekanntlich gleich \(f_1(n)\); ferner werde \(f_\lambda (1) = 1\),gesetzt. Unter diesen Festsetzungen gilt: \[ \sum _{k=1}^n f_\lambda (k) = A_\lambda \root \lambda \of {n} + O(\root \lambda +1 \of {n}) \] mit der Konstanten \[ A_\lambda = \zeta \left (1 + \frac {1}{\lambda }\right )\zeta \left (1 + \frac {2}{\lambda }\right ) \cdots. \] Die von Verf. verwendete Methode beruht auf dem folgenden Sachverhalt: Es sei \(\psi (n)\) eine zahlentheoretische Funktion, zu der sich eine natürliche Zahl \(\lambda \) und eine andere Funktion \(\omega (n)\) angeben lassen, so daß die Gleichung besteht: \[ \psi (n) = \sum _{k=1}^{n^\bullet } \omega (k) \left [\root \lambda \of {\frac {n}{k}}\right ]. \] Aus der Abschätzung \[ \chi (n) = \sum _{k=1}^n \omega (k) = O(\root \lambda +1 \of {n}) \] folgt: \[ \psi (n) = C \root \lambda \of {n} + O(\root \lambda +1 \of {n} \] mit der Konstanten \[ C = \sum _{k=1}^{\infty } \frac {\omega (k)}{\root \lambda \of {k}}. \tag{III 8.} \]