Abschätzungen für den Grad einer Permutationsgruppe von vorgeschriebenem Transitivitätsgrad. (Q2620049)

Verf. beschäftigt sich mit einer schon häufig angeschnittenen Frage aus der Theorie der Permutationsgruppen, nämlich der Abschätzung des Grades \(n\) einer solchen Gruppe, wenn der Transitivitätsgrad \(t\) vorgegeben ist. Die symmetrischen und alternierenden Gruppen werden als uninteressant dabei aus der Konkurrenz ausgeschlossen. Verf. beweist den folgenden Satz, der alle bisher bekannten Abschätzungen erheblich verbessert: A) Für jeden Wert des Transitivitätsgrades \(t\) ist \[ n - t \geq \begin{pmatrix} t \\ [\frac {4}{5}t] \end{pmatrix}. \] (B) Für hinreichend große \(t\) ist \[ \log (n-t) > \frac {t}{2}. \] (C) Für alle \(t\) ist \[ \log (n-t) > \frac {t}{3}. \] Die Abschätzungen \(B,C\) sind wohl nicht so gut wie \(A\), aber doch leichter zu beweisen und zu handhaben. Der Beweis von \(A\) ist durchaus elementar und vermeidet absichtlich Untersuchungen über Kongruenzgruppen bzw. aus der Darstellungstheorie, die stellenweise vielleicht die Beweisführung kürzer gestalten könnten.