Group characters and algebra. (Q2620050)

Jeder additiven Zerlegung \[ n = \lambda _1 + \lambda _2 + \cdots + \lambda _\mu \;(\lambda _1 \geq \lambda _2 \geq \cdots \geq \lambda _\mu ) \] entspricht nach einem bestimmten Gesetz ein Charakter der symmetrischen Gruppe von der Ordnung \(n!\). Aus den Elementen einer Matrix \((a_{ik})\) von \(n\) Zeilen und \(n\) Spalten werden nun die folgenden Ausdrücke gebildet: Für jede Permutation \( S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\ e_1 & e_2 & \cdots & e_n\end{pmatrix} \) sei \(P_S = a_{1e_1} a_{2e_2} \cdots a_{ne_n}\); dann wird die Zahl \(\sum _S \chi ^{(\lambda )} (S^{-1}) P_S\), wo \(\chi ^{(\lambda )}\) der zu einer gewissen additiven Zerlegung \(\lambda \) gehörige Charakter der symmetrischen Gruppe ist, unter der Bezeichnung ``immanant'' in ihrer Abhängigkeit von der Matrix \((a_{ik})\) und der Zerlegung \(\lambda \) betrachtet. Im Falle der Zerlegung \[ n = 1 + 1 + \cdots + 1 \] wird diese Zahl zur Determinante. Alle diese Ausdrücke werden nun auf verschiedene Weise klassifiziert. Sowohl hierzu wie auch zur Aufstellung von Relationen zwischen ihnen die Theorie der symmetrischen Funktionen als angemessen. - Die ``immanants'' bieten ein einfaches Mittel, die Charaktere symmetrischer Gruppen bis zu hohen Ordnungen wirklich aufzustellen.