Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper. (Die Theorie der Teilbarkeit in allgemeinen Körpern.) I, II: Struktur bewerteter Körper und Zerlegung von Primdivisoren in algebraischen Erweiterungen. III: Charakterisierung der allgemeinsten Bewertungstypen und der absoluten Riemannschen Fläche für beliebige Körper. (Q2620061)

Die Arbeit gibt eine allgemeine Theorie der bewerteten Körper. Der in einer früheren Arbeit des Verf. [Acta Math. 41, 271--284 (1917; JFM 46.0169.01)] erschöpfend behandelte Fall der archimedisch bewerteten Körper wird beiseite gelassen; ``bewertet'' bedeutet also durchweg ``nicht-archimedisch bewertet'' \[ \left (|0| = 0,\;|a| > 0 \text{ für } a \neq 0;\;|ab| = |a| |b|; \;|a + b| \leq \;\text{Max}\;(|a|,|b|)\right ), \] und zwar mit reellen Zahlwerten der Betragfunktion \(|a|\). Die beiden ersten Teile behandeln die Fortsetzungen \(\mathfrak {P}\) einer gegebenen Bewertung \(\mathfrak {p}\) eines beliebigen Körpers \(K\) in eine beliebige (endliche oder unendliche) algebraische Erweiterung \(L\) von \(K\). I bestimmt alle diese Fortsetzungen \(\mathfrak {P}\) von \(\mathfrak {p}\) durch weiteste Verallgemeinerung der \textit{Hensels}chen Methode: Ist \(k_{\mathfrak {p}}\) die zu \(\mathfrak {p}\) gehörige kleinste perfekte Erweiterung von \(K,\overline L\) der durch \(L\) über \(K\) bestimmte Normalkörper, \(\overline {\mathfrak {P}}\) eine stets existierende Fortsetzung von \(\mathfrak {p}\) auf \(\overline L\), und \(\overline L_{\mathfrak {P}}\) der zugehörige kleinste perfekte Körper, so zerfallen die Isomorphismen von \(L\) auf Teilkörper \(L'\) von \(\overline L\) in Klassen, wenn als Hauptklasse diejenigen Isomorphismen genommen werden, die die im Durchschnitt \(Z = K_{\mathfrak {p}} \cap \overline L\) (innerhalb \(\overline L_{\mathfrak {P}}\) definiert) irreduziblen Gleichungen für die Elemente aus \(L\) ungeändert lassen. Die verschiedenen Fortsetzungen \(\mathfrak {P}, \mathfrak {P}', \cdots \) von \(\mathfrak {p}\) auf \(L\) entsprechen umkehrbar eindeutig diesen Klassen. An Stelle der i. a. transzendenten Erweiterung von \(K\) zu \(K_{\mathfrak {p}}\) genügt es, den obigen Durchschnitt \(Z\), den \textit{Zerlegungskörper} einer bestimmten Fortsetzung \(\mathfrak {P}\) von \(\mathfrak {p}\), zu nehmen, oder auch nur dessen maximal-separablen Teilkörper \(Z_0\) den reduzierten Zerlegungskörper. Besonders studiert werden noch der universelle Zerlegungskörper \(A_{\mathfrak {p}}\), der durch die Gesamtheit der in bezug auf \(K\) algebraischen Elemente aus \(K_{\mathfrak {p}}\) gegeben ist, sowie der reduzierte universelle Zerlegungskörper \(A_{0\mathfrak {p}}\) (Beschränkung auf separable Elemente). \(A_{0\mathfrak {p}}\) wird charakterisiert als die kleinste in bezug auf \(\mathfrak {p}\) relativ-perfekte Erweiterung von \(K\), wobei relativ-perfekt durch die Gültigkeit des \textit{Hensels}chen Fundamentallemmas von der Ausgestaltung einer Polynomzerlegung im Restklassenkörper nach \(\mathfrak {p}\) zu einer Zerlegung im Körper selbst definiert ist. Zum Studium aller möglichen Fortsetzungen von \(\mathfrak {p}\) genügt es also, den Körper \(K\) zu seinem kleinsten in bezug auf \(\mathfrak {p}\) relativ-perfekten Körper \(A_{0\mathfrak {p}}\) zu erweitern. Ist \(K\) schon selbst relativ-perfekt, so besitzt \(\mathfrak {p}\) nur eine einzige Fortsetzung \(\mathfrak {P}\) in \(L\). II untersucht die feinere arithmetische Struktur einer gegebenen Fortsetzung \(\mathfrak {P}\) in \(L\) von \(\mathfrak {p}\) in \(K\). Dabei kann \(K\) nach den Ergebnissen von I ohne Einschränkung als relativ-perfekt bezüglich \(\mathfrak {p}\) vorausgesetzt werden. Es handelt sich um die Verallgemeinerung der Hilbertschen Theorie des Trägheits- und Verzweigungskörpers. Von \textit{W. Krull} [S.-ber. München 1930, 225--238 (1930; JFM 56.0141.02)] und \textit{M. Deuring} [Math. Ann. 105, 277--307 (1931; JFM 57.0168.02)] war diese Theorie im Spezialfall eines über \(K\) endlichen separablen normalen \(L\) bereits früher mit gruppentheoretischen Mitteln entwickelt worden. Hier wird im Gegensatz zu diesen Arbeiten wieder die \textit{Hensels}che rein körpertheoretische Methode angewendet. Die Theorie stellt sich unter den ganz allgemeinen Voraussetzungen des Verf. in großen Zügen so dar: Seien \(\mathfrak {L}, \mathfrak {K}\) die Restklassenkörper von \(L,K\) nach \(\mathfrak {P}, \mathfrak {p}\) ferner \(m_{\mathfrak {L}}, m_{\mathfrak {K}}\) die Wertgruppen der Betragfunktionen von \(L,K\), und \(n = (L:K)\), so heißt \(t = (\mathfrak {L}:\mathfrak {K})\) der \textit{Trägheitsgrad}, \(j = (m_\mathfrak {L}:m_\mathfrak {K})\) der \textit{Verzweigungsindex}, \( v = \frac {n}{t}\) (wenn \(t\) endlich) der \textit{Verzweigungsgrad} und \(d = \frac {v}{j}\) (wenn \(j\) endlich) der \textit{Defekt} von \(\mathfrak {P}\) in bezug auf \(\mathfrak {p}\). \(L\) heißt eine \textit{Trägheitserweiterung}, wenn für alle Teilkörper endlichen Grades der Trägheitsgrad gleich dem Körpergrad ist. Zwischen \(K\) und \(L\) braucht nicht notwendig eine Trägheitserweiterung \(T\) vorhanden zu sein; dies gilt aber sicher, wenn \(\mathfrak {L}\) über \(\mathfrak {K}\) separabel ist. Ist zudem für keinen Zwischenkörper endlichen Grades zwischen \(T\) und \(L\) der Körpergrad durch die Charakteristik von \(\mathfrak {K}\) teilbar, so gilt \((L:T) = v = j\), d. h. \(d = 1\), und \(L\) kann durch Adjunktion von Radikalen aus \(T\) gewonnen werden, entsprechen der Struktur der abelschen Gruppe \(m_\mathfrak {L}/m_\mathfrak {K}\). Im allgemeinen ist der Defekt \(d\) (wenn endlich) ganz, ferner nur bei Primzahlcharakteristik \(p\) von \(\mathfrak {K}\) von \(1\) verschieden und dann eine Potenz von \(p\). Daß für inseparables \(\mathfrak {L}\) über \(\mathfrak {K}\) ein Trägheitskörper \(T\) nicht zu existieren braucht, war bereits in einer kurz zuvor erschienen gemeinsamen Arbeit vom Ref. und \textit{F. K. Schmidt} [J. Reine Angew. Math. 170, 4--63 (1933; JFM 59.0154.03)] festgestellt worden. III behandelt die Fortsetzungen \(\mathfrak {P}\) einer gegebenen Bewertung \(\mathfrak {p}\) von \(K\) in eine einfach-transzendente Erweiterung \(K(z)\). Während im Bisherigen das Neue vor allem in der Durchführung einer in ihren Grundzügen von Spezialfällen her bekannten Theorie unter ganz allgemeinen Voraussetzungen lag, wird hier ein wesentlicher, neuer Begriff und damit eine neue Methode eingeführt, der Begriff der pseudokonvergenten Folge. Darunter versteht Verf. eine Folge \(a_n\) von Elementen aus \(K\), für die die Betragsfolge \(|a_n-a_{n-1}|\) von einer Stelle an monoton i. e. S. abnimmt oder dauernd Null ist. Solche Folgen werden etwa durch die Partialsummen von formalen Potenzreihen \(\sum _{i=0}^{\infty } \alpha _i x^{\nu _i}\) geliefert, die nach steigenden Potenzen einer Unbestimmten \(x\) über einem Koeffizientenkörper mit beliebigen reellen Exponenten \(\nu _i\) fortschreiten und durch die gewöhnliche Ordnungszahl bewertet sind. Mittels der pseudokonvergenten Folgen entwickelt Verf. eine vollständige Übersicht über alle Fortsetzungen \(\mathfrak {P}\) auf \(K(z)\) von \(\mathfrak {p}\): Ist \(K\) algebraisch abgeschlossen, so entspricht jeder pseudokonvergenten Folge \(a_n\) ohne Grenzwert in \(K\) eine Fortsetzung \(\mathfrak {P}\), definiert durch \[ |r(z)| = \lim _{n \rightarrow \infty } |r(a_n)| \text{ für jedes} \;r(z) \text{ aus}\;K(z), \] und so entstehen alle Fortsetzungen \(\mathfrak {P}\) von \(\mathfrak {p}\). Für beliebiges \(K\) erhält man daraus leicht ebenfalls eine entsprechende Übersicht, indem man die algebraisch-abgeschlossene Hülle \(\overline K\) von \(K\) zu Hilfe nimmt. Ist \(L\) eine beliebige Erweiterung von \(K\) mit einer \(\mathfrak {p}\) fortsetzenden Bewertung \(\mathfrak {P}\), soliefert die Betrachtung des Verhaltens der Elemente aus \(L\) in bezug auf Pseudolimites von Folgen aus \(K\) (oder \(\overline K\)) eine interessante Klassifikation der über \(K\) transzendenten Elemente von \(L\). Ist \(\mathfrak {p}\) eine Bewertung eines beliebigen Körpers \(K\) und \(\Pi \) der Primkörper von \(K\), so ist bei \(\mathfrak {p}\) entweder \(\Pi \) identisch bewertet und \(\mathfrak {p}\) Fortsetzung einer der bekannten (Primfunktions-) Bewertungen \(\mathfrak {p}_0\) einer in \(K\) enthaltenen einfach-transzendenten Erweiterung \(K_0 = \Pi (z)\), oder es ist \(\Pi = K_0\) der rationale Zahlkörper und \(\mathfrak {p}\) Fortsetzung einer der bekannten (Primzahl-) Bewertungen von \(K_0\). Die Ergebnisse aus Teil I-III geben dann implicite eine Übersicht über alle Bewertungen von \(K\), wenn man nach \textit{Steinitz} \(K\), von \(K_0 = \Pi (z)\) oder \(\Pi \) mit einer der genannten Bewertungen ausgehend, durch eine wohlgeordnete Kette einfacher transzendenter und nachfolgender algebraischer Erweiterungen erzeugt. Diese Lösung des ``Strukturproblems'' beliebiger bewerteter Körper ist nicht in gleicher Weise befriedigend, wie die von Ref. und \textit{F. K. Schmidt} [a. a. O.] im Spezialfall der diskret bewerteten Körper entwickelte. Dort wird die Struktur solcher Körper, d. h. das gegen analytischen Isomorphismus Invariante, im wesentlichen durch zwei Invarianten, die Charakteristik von \(K\) und den Restklassenkörper \(\mathfrak {K}\) von \(K\) nach \(\mathfrak {p}\), sowie im verzweigten Falle noch durch eine \textit{Eisensteins}che Gleichung gekennzeichnet, und es wird ein einfaches Konstruktionsverfahren angegeben, das mit einem Schlage den den gegebenen Invarianten entsprechenden Strukturtypus liefert. Das wesentlich Neue in der vorliegenden Arbeit muß in der Beherrschung auch der nichtdiskreten Bewertungen gesehen werden, für die man zunächst mit der vom Verf. entwickelten Strukturtheorie durch sukzessive wohlgeordnete Konstruktion nach Steinitz zufrieden sein muß.