Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold. (Q2620065)

Ausgehend von den (durch das Axiomensystem von \textit{Peano} gegebenen) natürlichen Zahlen \(1,2,3,\cdots \) bildet Verf. ein System von Symbolen \(C_1,C_2,C_3,\cdots \), das hinsichtlich zweier Verknüpfungsoperationen, Addition und Multiplikation, mit dem System der natürlichen Zahlen \(1\)-isomorph ist. Werden nur die ersten \(j\) Symbole als voneinander verschieden angenommen, während \( C_{j+1} = C_i(i \leq j)\), so erhält man ein endliches System \(\mathfrak {C}\) von \(j\) Elementen, in dem für \(i > 1\) das Gesetz des ``Kürzens'' (cancellation law) nicht gilt, d. h. aus \(a + b = a + c\) folgt im allgemeinen nicht \(b = c(C_j + C_1 = C_{i-1} + C_1, C_j \neq C_{i-1}).\) Zur Strukturuntersuchung von \(\mathfrak {C}\) verwendet Verf. den Begriff \textit{Semi}gruppe (Gruppe ohne Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen vordern und hintern Division). Ein Element \(C\) einer Semigruppe \(\mathfrak {S}\) wird ``kürzbar'' genannt, wenn für beliebige \(A,B,M,N\) aus \(\mathfrak {S}\) aus \(CA = CB, MC = NC \text{ folgt } A = B, M = N.\) Als Resultat ergibt sich: \(\mathfrak {C}\) bildet für \( i > 1\) nach der Addition eine Semigruppe ohne kürzbare Elemente, nach der Multiplikation eine Semigruppe mit \(C_1\) als einzigem kürzbaren Element. Für \( i = 1\) bildet \(\mathfrak {C}\) einen zum System aller Restklassen modulo \(j 1\)-isomorphen Ring.