Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (Q2620090)

Im Anschluß an eine Arbeit von \textit{Hasse} (1934; F. d. M.\(60_{\text{I}}\), 97-98) werden die beiden speziellen Typen zyklischer algebraischer Funktionenkörper \(Z = k(x,y)\) über einem Körper der Charakteristik \(p\) mit \(p^f = q\) Elementen untersucht, die durch eine der beiden Gleichungen \[ y^p - y = x^m, \text{ wo} \;m|q - 1, \tag{1} \] \[ y^n = 1 - x^m, \text{ wo} \;m|q - 1 \text{ und} \;n|q - 1 \tag{2} \] erzeugt werden. Setzt man in beiden Fällen \(x^m = t\), so ist \(Z\) bizyklisch über \(k(t)\), und die Aufspaltung der Zetafunktion von \(Z\) in die zu \(Z/k(t)\) gehörigen \(L\)-Reihen liefert bereits die Zerlegung von \(\frac {\zeta (s)}{\zeta _0(s)} (\zeta _0(s)\) die Zetafunktion zum Geschlecht \(0\)) in Linearfaktoren in \(\frac {1}{q^s} = z\), und so erhält man die Nullstellen von \(\zeta (s)\) in \(z\) als gewisse Summen von Einheitswurzeln. Die im Fall (1) auftretenden Summen sind verallgemeinerte \textit{Gauß}sche Summen, und ihr absoluter Betrag läßt sich elementar zu \(\sqrt q\) berechnen, wodurch das Analogen zur \textit{Riemanns}chen Vermutung für den Fall (1) bewiesen ist. Die im Fall (2) auftretenden Nullstellen lassen sich elementar auf die verallgemeinerten \textit{Gauß}schen Summen zurückführen, wobei sich nun die Richtigkeit der \textit{Riemanns}chen Vermutung für (2) herausstellt. - Erweitert man \(k\) auf \(k^(r)\), den Körper von \(q^r\) Elementen, so spalten sich die zu \(Zk^(r)\) gehörigen \(L\)-Reihen noch weiter auf. Im Fall (1) ergibt sich daraus ein Zusammenhang zwischen den zu \(k\) und den zu \(k^(r)\) gehörigen \textit{Gauß}schen Summen, und im Fall (2) erhält man gewisse multiplikative Relationen zwischen diesen Summen. - Diese beiden letzten Ergebnisse werden dann noch rein arithmetisch bewiesen, und zwar gelingt dies mit Hilfe der von \textit{Stickelberger} im Anschluß an \textit{Kummer} bewiesenen ``arithmetischen Charakterisierung'' dieser Summen die im Anhang vereinfacht dargestellt wird. - Ähnlich wie (2) läßt sich auch die allgemeinere Gleichung \(ax^m + bx^n = c\) behandeln. Die Nullstellen von \(\zeta (s)\) werden wieder durch die verallgemeinerten \textit{Gauß}schen Summen dargestellt, und dabei bestätigt sich auch hier die Richtigkeit der \textit{Riemanns}chen Vermutung. Die bestmögliche Abschätzung für die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades von \(Z\) und der damit zusammenhängenden Zahl der Lösungen von \(ax^m + bx^n = c\) in \(k\) sich leicht direkt herleiten. - Schließlich werden noch die beiden elliptischen Fälle \(y^2 = 1 - x^3 \text{ und} \;y^2 = 1 - x^4\) behandelt.