On the representation of integer by circulant. (Q2620123)

Es werden Determinanten der Form \[ g(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & \hdots & x_n \\ x_n & x_1 & \hdots & x_{n-1} \\ \hdotsfor 4 \\ x_2 & x_3 & \hdots & x_1 \end{vmatrix} \] betrachtet. Verf. beweist zuerst: Ist \(n\) eine Primzahl, so kann jede von \(n\) verschiedene Primzahl durch \(g(x_1,\cdots,x_n)\) mit ganzzahligen nichtnegativen \(x_1,\cdots,x_n\) dargestellt werden. Er schickt voran: \[ g(x_1,\cdots,x_n)\cdot (g(y_1,\cdots,y_n) = g(X_1,\cdots,X_n) \tag{I} \] (das Produkt ist also wieder von derselben Form), wobei \(X_1,\cdots,X_n\) Bilinearformen in den beiden Reihen \(x_1,\cdots,x_n\) und \(y_1,\cdots,y_n\) sind. Er schließt dann: Soll \(p = g(x_1,\cdots,x_n)\) mit \(x_1,\cdots,x_n\) die genannte Eigenschaft besitzen, so muß, da \[ g(x_1,\cdots,x_n) = (x_1 + \cdots + x_n) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \hdots & x_n \\ 1 & x_1 & \hdots & x_{n-1} \\ \hdotsfor 4\\ 1 & x_3 & \hdots & x_l \end{vmatrix} \] ist, \(x_1 + \cdots + x_n = p\) und \[ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \hdots & x_n \\ 1 & x_1 & \hdots & x_{n-1} \\ \hdotsfor 4\\ 1 & x_3 & \hdots & x_1 \end{vmatrix} = 1 \text{ sein}. \] Die Relation \[ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \hdots & x_n \\ 1 & x_1 & \hdots & x_{n-1} \\ \hdotsfor 4\\ 1 & x_3 & \hdots & x_1 \end{vmatrix} = \prod _{s=1}^{n-1}(x_1 + \omega ^s x_2 + \omega ^{2s} x_3 + \cdots + \omega ^{(n-1)s} x_n) \] und die Anwendung einer Determinanteneigenschaft auf das Produkt verhilft dann schnell zu einer angebbaren Lösung. \(p = n\) ist nicht darstellbar. Für \(n^2\) gelingt es dem Verf., direkt eine Lösung anzugeben, desgleichen für \(n^3\). Wegen (I) sind also alle ganzen Zahlen darstellbar, die durch \(n\) gar nicht oder mindestens zweimal teilbar sind. Dann wird noch gezeigt: Ist \(n\) eine Primzahl, so ist \[ g(x_1,\cdots,x_n) \equiv x_1 + x_2 + \cdots + x_n \;(\mod n). \] Daraus folgt leicht, daß nur die oben genannten Zahlen darstellbar sind. Ist \(n\) keine Primzahl, so läßt sich mit fast derselben Methode beweisen: Jede zu \(n\) teilerfremde oder durch \(n\) teilbare Zahl ist durch \(g(x_1,\cdots,x_n)\) darstellbar.