Über die Anzahl der Primfaktoren der ganzen Zahlen. (Q2620183)

Verf. gibt für einen \textit{Hardy-Ramanujans}chen Satz zwei neue Beweise, und zwar einen elementaren Beweis und einen einfachen analytischen Beweis. Ferner gibt er die folgenden Verallgemeinerungen des \textit{Hardy-Ramanujans}chen Satzes: 1. Es sei \(\Phi (n)\) eine zahlentheoretische Funktion, die nur den folgenden Bedingungen genügt: \( \Phi (n) = \sum _{p_i|n} \Phi (p_i)\) (\(p_i\) ist Primzahl), \(\Phi (p_i) > 0, \Phi (p_i)\) bleibt unter einer Schranke für \(p_i \rightarrow \infty, \lim _{N\rightarrow \infty } \sum _{p_i \leq N} \frac {\Phi (p_i)}{p_i} = + \infty \); dann strebt die Anzahl derjenigen Zahlen \(n \leq N\), für welche wenigstens eine der Ungleichungen \[ \Phi (n) > (1 + \varepsilon ) \sum _{p_i \leq N} \frac {\Phi (p_i)}{p_i},\;\Phi (n) < (1-\varepsilon ) \sum _{p_i \leq N} \frac {\Phi (p_i)}{p_i} \] gilt, durch \(N\) dividiert, gegen \(0\). Im Falle \(\Phi (p_i) \equiv 1\) geht der Satz in den \textit{Hardy-Ramanujans}chen über. 2. Es sei das ganzzahlige Polynom \(f(x)\) vom Grade \(n\), und die Anzahl seiner verschiedenen irreduziblen Faktoren sei \(k\); dann strebt die Anzahl derjenigen Zahlen der Form \(f(n)\) unter \(N\), für welche wenigstens eine der Ungleichungen \[ U(f(n)) > (1 + \varepsilon ) k \log \log N, \;U(f(n)) < (1 - \varepsilon )k \log \log N \] erfüllt ist, durch \(\root n \of {N}\) dividiert, gegen \(0\). \(U(m)\) kann die Anzahl aller oder nur der verschiedene Primfaktoren von \(m\) bedeuten.