Mathematische Analysis, I. Teil: Differential- und Integralrechnung, I. (Q2620219)

Dieses Werk, von dem der erste Band vorliegt, will den älteren Studenten instand setzen, sich neben seinen Spezialstudien einen Überblick über das Gesamtgebiet der mathematischen Analysis zu verschaffen und deren Teilgebiete von einheitlichen Gesichtspunkten aus zu erfassen. Verf. hat sich den ``Cours d'Analyse'' der Franzosen zum Vorbild genommen, daneben aber seinem Buche den Charakter eines Nachschlagewerkes gegeben. Dem Lehrzwecke dienen die durchgeführten Beweise, die geschichtlichen Abrisse, die zahlreichen Beispiele und ``Gegenbeispiele'', sowie die den Beschluß jedes Kapitels bildenden Übungsaufgaben, von denen einige - welche Fachzeitschriften entnommen sind - an die Front der heutigen Forschung heranführen. Dem Nachschlagezweck dienen die durch den Druck hervorgehobenen Definitionen und das reichliche, weitgehend in Lehrsätze und Formelsammlungen gefaßte Tatsachenmaterial, dazu viele Schriftenhinweise, teils in Fußnoten, teils in einen besonderen Anhang (der daneben noch weitere historische mNotizen enthält), das alphabetische Sachverzeichnis (zugleich als japanisch-englisch-deutsches Fachwörterbuch benutzbar), sowie das Personenverzeichnis. Von neueren Autoren werden am meisten angeführt: \textit{Bromwich, Hardy, Landau, Pólya, Pringsheim, Schlömilch, Schwarz}. Obwohl das Buch gereiftere Leser voraussetzt, geht es von den Anfangsgründen aus, gestattet sich dabei allerdings gelegentlich Vorverweisungen. Aus Kap. I (Grundbegriffe) sei erwähnt: Die Punktmengenlehre bis zum \textit{Heine-Borels}chen (hier: \textit{Borel-Lebesgues}chen) Überdeckungssatz, die Elementarfunktionen, die Ordnungen des Unendlichwerdens nach \textit{du Bois-Reymond}. Es macht stutzig, daß die trigonometrischen Funktionen einfach der Trigonometrie und die Beziehung \(\sin x < x < \text{tg}\, x \, (0< x < \frac {\pi }{2})\) der Anschauung entnommen werden; daß \(arcsin x\) als \(``\sin ^{-1}x"\) und daneben \((\sin x)^m\) als \(``\sin ^m x"\) erscheint. Aus Kap. II (Differentialrechnung) sei herausgegriffen: Die \textit{Weierstraß}sche stetige, nirgends differenzierbare Funktion mit Beweis, Figur und geschichtlicher Notiz; der \textit{Taylors}che Satz auch in der verfeinerten Form von \textit{Stolz}; die verallgemeinerte zweite Ableitung nach \textit{Schwarz}; zehn Lehrsätze über ``unbestimmte Formen'', worunter zwei von \textit{Kubota}; reell-analytische und quasianalytische Funktionen; Binomialkoeffizientenreiben. Aus Kap. III (Integtralrechnung): Der Satz von \textit{Arzelà} über gliedweise Integration bei totalbeschränkter Partialsumme; ein Abschnitt über Gammafunktion, Betafunktion und \textit{Dirichlets}che Reihen. Aus Kap. IV (Funktionen zweier Verändlicher): Die bekannte Ungleichung von \textit{Hardy-Littlewood} von der Form \(C^{\frac {1}{r}} \leqq KA^{\frac {1}{p}} B^{\frac {1}{q}}\); total differenzierbare Funktionen; je sechs Lehrsätze über Differentiation und Integration des bestimmten Integrals nach einem Parameter; Differential und Integral gebrochenre Ordnung mit Anwendungen; \textit{Laplaces}che Integralgrenzwertformel; Annäherung stetiger Funktionen durch Polynome; \textit{Fouriers}cher Integralsatz; \textit{Euler-Maclaurins}che Summenformel. (Bei der \textit{Laplaces}chen Formel wäre eine Zusammenstellung der Voraussetzungen wünschenswert gewesen; auch sonst hätte das - immerhin heikle - Kap. IV an einigen Stellen noch der Ausfeilung bedurft.) Im ganzen dürfte das Buch für den Japaner von doppeltem Nutzen sein: er findet hier vieles vereint, was ihm sonst (wie übrigens auch uns) nur in zahlreichen Büchern und Zeitschriften verstreut zugänglich wäre, und umgeht zugleich die für ihn mit Auslandswerken verbundenen Schwierigkeiten.