Derivatives, difference quotients, and Taylor's formula. (Q2620247)

Zunächst wird ein Analogon des Theorems von \textit{Rolle} für Differenzenquotienten bewiesen, dann gezeigt (Theorem I), daß es für eine in dem geschlossenen Intervall \(J\) meßbare Funktion \(f(x)\) dafür, daß sie ein Polynom höchstens vom Grade \(m - 1\) ist, notwendig und hinreichend ist, daß der \(m\)-te Differenzenquotient von \(f(x)\) gleichmäßig gegen \(0\) konvergiert; und zwar folgt die Notwendigkeit direkt aus der \textit{Taylors}chen Formel, während andererseits gezeigt wird, daß, wenn der Satz nicht gilt, \(f(x)\) in \(J\) nicht meßbar sein kann. Es sei nun \[ f_0(x + h) = f_0(x) + \frac {1}{1!} f_1(x)h + \cdots + \frac {1}{m!} f_m(x) h^m + R(x,h), \] wobei die Funktionen \(f\) im Intervalle \(J\) definiert sind und \(\frac {R(x,h)}{h^m} \) gleichmäßig gegen \(0\) konvergiert für \(h \rightarrow 0\). Es läßt sich dann zeigen (Theorem II), daß es für im geschlossenen Intervall \(J\) meßbare Funktionen \(f(x)\) dafür, daß der \(m\)-te Differentialquotient von \(f(x)\) gleich \(f_m(x)\) ist, notwendig und hinreichend ist, daß der \(m\)-te Differenzenquotient von \(f(x)\) in \(J\) gleichmäßig gegen \(f_m(x)\) konvergiert. Schließlich wird als drittes Theorem bewiesen, daß es dafür, daß die in \(J\) definierte Funktion \(f(x) = f_0(x)\) eine stetige \(m\)-te Ableitung habe, notwendig und hinreichend ist, daß dort Funktionen \(f_1(x),\cdots,f_m(x)\) existieren, die die obige Gleichung befriedigen. In diesem Fall folgt sofort auch die Gleichung \[ \frac {d^p f(x)}{dx^p} = f_p(x)\quad (p = 1, 2,\cdots,m). \]