Sur une propriété de fonctions d'une infinité de variables réelles. (Q2620275)

Verf. beweist den Satz: Es existiert eine feste unendliche Folge von Funktionen einer Veränderlichen von der ersten \textit{Baires}chen Klasse, \(\varphi _1(x), \varphi _2(x), \cdots \) derart, daß für jede reelle Funktion \(f(x_1,x_2,\cdots )\) der unendlichen Folgen reeller Veränderlichen eine Funktion \(g(x)\) einer reellen Veränderlichen existiert, so daß \[ f(x_1,x_2,\cdots ) = g(\varphi _1(x_1) + \varphi _2(x_2) + \cdots ) \quad \text{ist.} \] Es folgen einige Anwendungen. Schließlich wird noch eine Bemerkung von \textit{A. Lindenbaum} bewiesen: Eine Funktion der unendlichen Folgen reeller Veränderlichen, die für jede konvergente Folge \(x_1,x_2,\cdots \) den Wert \(f(x_1,x_2,\cdots ) = \lim _{n \rightarrow \infty } x_n\) annimmt, kann nicht in der Form \[ \lim _{n \rightarrow \infty } f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n) \] dargestellt werden. (Daß eine solche Darstellung nicht für alle \(f(x_1,x_2,\cdots )\) möglich ist, folgt schon aus Mächtigkeitsbetrachtungen.) Daraus folgt zusammen mit dem eingangs erwähnten Satz, daß die Funktion \(g\) nicht immer stetig sein kann.