Sur le premier théorème fondamental dans la théorie des déformations continues. (Q2620311)

Unter dem ersten Fundamentalsatz für stetige Abbildungen wird hier folgendes verstanden: Es seien \[ \begin{matrix} y_1 = f_1(x_1,\cdots,x_n),\\ \hdotsfor 1\\ y_n = f_n(x_1,\cdots,x_n)\end{matrix} \tag{*} \] statige und partiell differenzierbare Funktionen in einem Gebiet \(D\). Ist dann unter dieser Transformation die quadratische Differentialform \( \sum _i dx_i^2\) invariant, d. h. ist \[ \sum _p dy_p^2 = \sum _{i,k} a_{ik}dx_i dx_k \] mit \[ a_{ik} = \left \{ \begin{matrix} 0, &i \neq k,\\ 1, & i = k,\end{matrix} \right. \] wo die \(a_{ik}\) gegeben sind durch \[ a_{ik} = \sum _p \frac {\partial f_p}{\partial x_i} \frac {\partial f_p}{\partial x_k}, \] so ist (*) eine Bewegung, möglicherweise durch eine Spiegelung ergänzt. Die bisherigen Beweise für diesen Satz benutzen, um von der partiellen zur totalen Differenzierbarkeit gelangen zu können, mehr oder weniger stillschweigend die Stetigkeit der partiellen Ableitungen. Hier wird der Beweis nun zum erstenmal erbracht unter der alleinigen Voraussetzung, daß die partiellen Ableitungen in \(D\) überall existieren. Eineindeutigkeit der Abbildung wird nicht besonders vorausgesetzt, ist vielmehr eine Folge der Bedingungen. Um Schreibarbeit zu sparen, kann man sich auf zwei Variablen beschränken. Die Bedingungen lauten dann: Die Funktionen \[ u = f(x,y), \;v =g(x,y) \tag{\(\alpha \)} \] mögen folgende Eigenschaften haben: 1) \(f\) und \(g\) seien in einem Gebiet \(D\) gegeben; 2) Die partiellen Ableitungen \[ \frac {\partial u}{\partial x}, \frac {\partial u}{\partial y}, \frac {\partial v}{\partial x}, \frac {\partial v}{\partial y} \] existieren als endliche Größen in jedem Punkt von \(D\); 3) Die Orthogonalitätsrelationen \[ \left (\frac {\partial u}{\partial x}\right )^2 + \left (\frac {\partial u}{\partial y}\right )^2 = 1,\;\frac {\partial u}{\partial x} \frac {\partial v}{\partial x} + \frac {\partial u}{\partial y} \frac {\partial v}{\partial y} = 0, \;\left (\frac {\partial v}{\partial x}\right )^2 + \left (\frac {\partial v}{\partial y}\right )^2 = 1 \tag{\(\beta \)} \] sind überall in \(D\) erfüllt. Da nach \((\beta )\) die Ableitungen beschränkt sind, kann man nach einem Satze des Ref. (1919; F. d. M. 47, 243 (JFM 47.0243.*)) schließen, daß \(f,g\) fast überall in \(D\) im \textit{Stolzs}chen Sinne total differenzierbar sind. Anderseits sind die partiellen Ableitungen, als Funktionen der ersten \textit{Baires}chen Klasse, auf einer überall dichten Menge stetig. Um einen solchen Stetigkeitspunkt \(P_0\) herum ist dann in einer hinreichend Umgebung \(\Delta \) die Abbildung eineindeutig. Diese beiden Bemerkungen zusammen genügen dann, um in \(\Delta f\) und \(g\) als von der Form \[ f(x,y) = Ax + By + L, g(x,y) = Cx + Dy + M \] zu erkennen. Diese Gebiete \(\Delta \), die teilweise übereinander greifen können, werden nun zu größtmöglichen Gebieten \(\Delta _i\) in endlicher oder abzählbar unendlicher Anzahl innerhalb \(D\) zusammengeschlossen. In \(\Delta _i\) sei \(f_x = A_i, f_y = B_i, g_x = C_i, g_y = D_i.\) Durch Betrachtung der Grenzpunkte von \(\Delta _i\) wird dann geschlossen, unter abermaliger Heranziehung des \textit{Baires}chen Satzes, daß die \(A_i\), und ebenso die \(B_i,C_i,D_i\) zweier benachbarterGebiete \(\Delta _i\) gleich sein müssen, daß also in Wirklichkeit \(D\) durch nur ein \(\Delta \) erfüllt wird, womit der Satz bewiesen ist.