Implicit functions of almost periodic functions. (Q2620317)

Sei \(F(x,z)\) fastperiodisch in \(x\); wann ist eine Lösung \(z = f(x)\) von \(F=0\) eine fastperiodische Funktion von \(x\)? (Dies ist nicht einmal bei \(F = z^2 - g(x)\) mit fastperiodischem \(g \neq 0\) immer der Fall.) Es werden hinreichende Bedingungen angegeben, unter denen \(f(x)\) fastperiodisch ist; sie besagen im wesentlichen, daß die Bedingungen für im kleinen eindeutige Lösbarkeit von \(F=0\) und die Fastperiodizität von \(F\) in bestimmten Sinne gleichmäßig gelten. Ein Zusatz betrifft die Verschiebungszahlen und hat im algebraischen Falle \((F = z^n + \varphi _1(x)z^{n-1} + \cdots + \varphi _n(x))\) bei Vorhandensein einer positiven unteren Schranke des Diskriminantenbetrages zur Folge, daß das Spektrum von \(f(x)\) enthalten ist in dem durch eine ganze Zahl \( \leqq n\) dividierten Spektrum von \((\varphi _1,\cdots,\varphi _n).\) Dies gilt für fastperiodische Fiunktionen im \textit{Bohrs}chen Sinn (``u. a. p.''). Bei fastperiodischen Funktionen nach \textit{Stepanoff} gibt es im algebraischen Fall - unter einer schwachen Diskriminantenvoraussetzung - immer eine, aber sogar unendlich viele wesentlich verschiedene fastperiodische Lösungen.