Sur l'unicité des séries de Fourier. (Q2620323)

Die vorliegende, mit dem \textit{Bordin}-Preis 1933 ausgezeichnete Arbeit nimmt die Untersuchung der folgenden allgemeinen Fragestellung in Angriff: Von einer mit \(2\pi \) periodischen Funktion \(f(t)\) der Klasse \(L\) sei bekannt, daß sie eine gewisse Eigenschaft \((A)\) in einer Teilmenge \(E\) des Intervalls \(<0, 2\pi >\) aufweist. Unter welchen Bedingungen für die \textit{Fourier}koeffizienten \(a_n\) und \(b_n\) von \(f(t)\) läßt sich dann behaupten, daß \(f(t)\) die Eigenschaft \((A)\) im ganzen Intervall \(<0, 2\pi >\), abgesehen von einer Nullmenge, aufweist? Die vorliegenden Untersuchungen beziehen sich auf die beiden Fälle, daß \((a)\) das Verschwinden von \(f(t)\) auf einer Teilmenge \(E\) von \(<0, 2\pi >\) bedeutet, oder daß \((A)\) die Zugehörigkeit von \(f(t)\) zu einer Klasse quasianalytischer Funktionen in einem Teilintervall \(<\alpha,\beta >\) von \(<0, 2\pi >\) bedeutet. I. Was den ersten Fall betrifft, so werden dazu zunächst einige Sätze bewiesen, die das Verschwinden von \(f(t)\) in einem Intervall \(<\alpha,\beta >\) voraussetzen, und die sich durch Heranziehung des \textit{Schwarzs}chen Spiegelungsprinzips in einfacher Weise aus bekannten Sätzen über die analytische Fortsetzung von Potenzreihen ergeben. Als Beispiele seien genannt: (1) Es sei \(f(t)\) eine unbegrenzt differenzierbare Funktion, die samt ihren sämtlichen Ableitungen mit der Periode \(2\pi \) periodisch ist. Sie verschwinde in einem Intervall \(<\alpha,\beta >\) mit \(\alpha < 0 < \beta \). Bezeichnet man dann mit \(\gamma \) die obere Grenze der Zahlen \(d > 0\), für die \(f(t)\) in \(<-d, +d>\) verschwindet, so ist \[ \frac {1}{\gamma } = \overline \lim _{n \rightarrow \infty } \root n \of {\frac {d_n}{n!}} \] mit \[ d_{2h} = \left |\sum _{n=1}^\infty b_n n^{2h}\right |,\;d_{2h+1} = \left |\sum _{n=1}^\infty a_n n^{2h+1}\right |\^^M(h = 0, 1, 2,\cdots ), \] wo \(a_n,b_n\) die \textit{Fourier}koeffizienten von \(f(t)\) bedeuten. (2) Es sei \(f(t)\) eine mit \(2\pi \) periodische Funktion der Klasse \(L\), die in einem Intervall \(<\alpha,\beta >\) der Länge \( \beta - \alpha > 2\pi \delta \) verschwindet. Hat ihre \textit{Fourier}reihe die Form \[ f(t) \sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i} \cos n_i t + b_{n_i} \sin n_i t), \] wo die \(n_i\) eine Folge bilden, deren Maximaldichte nicht größer als \(\delta \) ist, so verschwindet \(f(t)\) fast überall. II. Zu weitergehenden Resultaten kommt Verf. durch gleichzeitige Heranziehung der Theorie der quasianalytischen und der Theorie der ganzen Funktionen. Damit ergibt ich z. B. der Satz: Es sei \(f(t)\) eine mit \(2\pi \) periodische Funktion der Klasse \(L\). Sie besitze eine \textit{Fourier}-reihe der Form \[ f(t) \sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i} \cos n_i t + b_{n_i} \sin n_i t), \] wobei der Konvergenzexponent der Folge \({n_i}\) gleich \(\sigma < 1\) sei. Ist dann die Funktion \(f(t)\) in der Umgebung eines Punktes \(t_0\) beschränkt und verschwindet sie in einer Punktmenge \(E\), die in \(t_0\) bezüglich der Funktion \(e^{x^\varrho }\) mit einem \(\varrho > \frac {\sigma }{1 - \sigma }\) ``dicht'', ist, so verschwindet \(f(t)\) fast überall. (Dabei soll eine Punktmenge \(E\) in \(t_0\) bezüglich einer für hinreichend großes \(x\) definierten positiven Funktion \(\tau (x)\) ``dicht'' heißen, wenn die nicht zu \(E\) gehörigen Punkter des Intervalls \(<t_0,t_0 + \alpha > (\alpha \gtrless 0)\) ein Maß \(m_\alpha \) besitzen, für das die Beziehung \( \underline {\lim }_{|a| \rightarrow 0} \frac {m_\alpha }{|\alpha |} \tau \left (\frac {1}{|\alpha |}\right ) = 0\) besteht.) III. Die unter II. genannte Methode führt auch zu einem Ergebnis hinsichtlich des zweiten der eigangs genannten Probleme: Es sei \(\varphi (t)\) eine unbegrenzt differenzierbare Funktion, die samt ihren sämtlichen Ableitungen mit der Periode \(2\pi \) periodisch ist. Sie gehöre einer Klasse \(C_{\{m_n\}}\) quasianalytischer Funktionen an, d. h. es sei \[ |\varphi ^{(n)} (t)| < m_n k^n\quad (n = 0, 1, 2,\cdots ), \] wo \(k\) eine Konstante und \(\{m_n\}\) eine Zahlenfolge bedeutet, für die \[ \sum \frac {1}{\beta _n^\ast }\text{ mit }\beta _n^\ast = \text{Min} \root {n+\varkappa } \of { m_{n+\varkappa }}\quad (\varkappa = 0, 1, 2,\cdots ) \] divergiert. Ist dann \(f(t)\) eine mit \(2\pi \) periodische Funktion der Klasse \(L\), die eine \textit{Fourier}reihe \[ f(t) \sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i} \cos n_i t + b_{n_i} \sin n_i t) \] mit konvergenter \[ \sum _{i=1}^\infty \frac {1}{n_i} \] besitzt, so folgt aus der Übereinstimmung von \(f(t)\) mit \(\varphi (t)\) in einem beliebig kleinen Intervall \(<\alpha,\beta >\), daß \(f(t)\) und \(\varphi (t)\) fast überall übereinstimmen. IV. Beiläufig ergeben sich noch einige Resultate über quasianalytische und über ganze Funktionen, von denen das folgende genannt sei: Die Klasse der mit \(2\pi \) periodischen, unbegrenzt diferenzierbaren Funktionen \(\varphi (t)\), welche für eine Folge \(\{m_n\}\) und eine (von \(\varphi (t)\) abhängige) Konstante \(k\) die Ungleichungen \[ |\varphi ^{(n)} (t)| < k^n m_n \quad (n = 0, 1, 2,\cdots ) \] erfüllen, werde allgemein mit \(C_{\{m_n\}}\) bezeichnet. Nach dem \textit{Carlemans}chen Satze ist dann notwendig und hinreichend dafür, daß aus \[ \varphi ^{(n)} (0) = 0 \quad (n = 0, 1, 2,\cdots ) \tag{*} \] das identische Verschwinden von \(\varphi (f)\) folgt, die Divergenz der Reihe \(\sum \frac {1}{\beta _n ^\ast }\) (vgl. III.) Verf. zeigt nun, daß es zu jeder Klasse \(C_{\{m_n\}}\), auch im Falle der Konvergenz von \(\sum \frac {1}{\beta _n ^\ast }\), eine Zahl \(\sigma > 0\) gibt, derart, daß eine Funktion \(\varphi (t)\) der Klasse, für die (*) gilt und die eine \textit{Fourier}reihe \[ \varphi (t) \sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i} \cos n_i t + b_{n_i} \sin n_i t) \] besitzt, bei der der Konvergenzexponent der Folge \({n_i}\) höchstens gleich \(\sigma \) ist, identisch verschwindet. Diese Tatsache ermöglicht die Einführung von Klassen quasianalytischer Funktionen, die die von \textit{Denjoy} und \textit{Carleman} betrachteten Klassen umfassen. (Vgl. \textit{S. Mandelbrojt}, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, Paris 1935 (F. d. M. \(61_{\text{II}}\)), VIII. Kapitel.)