Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen. IV. (Q2620348)

Die Note schließt unmittelbar an Teil I-III der gleich betitelten Untersuchungen an (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 164 und Bulletin Acad. Polonaise 1932, 229-238; F. d. M. 58), in deren Besprechungen die im folgenden benutzten Bezeichnungen erklärt sind. Es seien ein \(OS(\varphi _i(x))\) und zwei Funktionenklassen \(A\) und \(B\) gegeben. Man sagt, eine Zahlenfolge \((\lambda _i)\) führe \(A\) in \(B\) über, kurz: sie gehöre zu \((A,B)\), oder: sie sei ein Multiplikator der Klasse \((A,B)\), wenn die \(OK f_i\) einer Funktion \(f(x)\) aus \(A\) durch Multiplikation mit \(\lambda _i\) in die \(OK g_i\) einer Funktion \(g(x)\) der Klasse \(B\) übergehen. In Ergänzung der früheren Untersuchungen werden hier nun für verschiedenerlei Klassen \(A,B\) zahlreiche Eigenschaften der zugehörigen Multiplikatoren angegeben. Es seien die folgenden genannt: 1. Ist das \(OS(\varphi _i)\) gleichmäßig beschränkt, so ist jede zu \((L^\alpha, L^\beta )\) gehörige Folge \((\lambda _i)\) beschränkt. 2. Jede der Funktionen \(\varphi _i\) sei beschränkt. Dann gehört \((\lambda _i)\) dann und nur dann zur Klasse \((L^1, l^2)\), wenn eine Ungelichung der Form \(\Sigma \lambda _i^2 \varphi _i^2(x) \leqq M\) fast überall besteht. Sind die \(\varphi _i\) gleichmäßig beschränkt, so gehört \((\lambda _i)\) dann und nur dann zu \((L^1, L^2)\), wenn \(\Sigma \lambda _i^2\) konvergiert. 3. Das \(OS(\varphi _i)\) sei gleichmäßig beschränkt. Wenn dann \((\lambda _i)\) zu \((L^1,L^\alpha )\) mit \(1 < \alpha < 2\) gehört, so ist \(\Sigma \lambda _i^{\alpha '}\) konvergent \( (\frac {1}{\alpha } + \frac {1}{\alpha '} = 1).\)