Some inequalities for non-uniformily bounded orthonormal polynomials. (Q2620355)

Verf. dehnt zwei bekannte Sätze von \textit{F. Riesz} (1923; F. d. M. 49, 292 (JFM 49.0292.*)) sowie einen Satz von \textit{Paley} (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 335) über beschränkte normierte Orthogonalfunktionen auf nichtbeschränkte normierte Orthogonalpolynome aus: Es seien \(A_1(x),\^^MA_2(x),\;\cdots,\;A_n(x),\;\cdots \) Polynome, vom \(n\)-ten Grad für jedes \(n. p(x)\) sei eine nicht negative integrierbare Gewichtsfunktion in \(<a,b>\). Weiter gelte \[ \int _a^b p(x) A_n(x) A_m(x) dx = \left \{\begin{matrix} 0 & n \neq m\\ 1 & n = m.\end{matrix} \right. \] \[ c_n = \int _a^b p(x) f(x) A_n(x) dx \] bezeichne die \textit{Fourier}koeffizienten von \(f(x)\). Ferner sei \(\alpha (x)\) eine Funktion, deren Ableitung \(\alpha '(x) = \beta (x) \geqq 0\) ist, wo die Gleichheit höchstens in einer Menge vom Maß Null gilt. Endlich setze man \[ W(x) = \left [\frac {p(x)}{\beta (x)}\right ]^{\frac {1}{2}},\;J_p = \left (\int _a^b|W(x) f(x)|^p d\alpha (x)\right )^{\frac {1}{p}},\;S_{p'} = \left (\sum _{n=0}^\infty |c_n|^{p'}\right )^{\frac {1}{p'}}, \] wobei die Zahlen \(p\) und \(p'\) den Bedingungen \[ 1 \leqq p \leqq 2,\;p' \geqq 2,\;\frac {1}{p} + \frac {1}{p'} = 1 \] unterworfen sind. Das Integral \(J_p\) geht im Fall \(p=2\) in den üblichen Wert \[ J_2 = \int _a^b p|f|^2 dx \] über. Unter \(L_\alpha ^p\) werde die Klasse derjenigen Funktionen \(f\) verstanden, für welche die \textit{Lebesgue-Stieltjes}-Integrale \(\int _a^b f(x) d\alpha (x)\) und \(\int _a^b |f(x)|^p d\alpha (x)\) existieren. Bleibt nun - in Erweiterung der Beschränktheitsbedingung bei \textit{Riesz} - \[ |W(x) A_n(x)| \leqq A, \] wo \(A\) von \(x\) und \(n\) nicht abhängt, so gilt analog den \textit{Rieszs}chen Sätzen: Wenn \(W(x) f(x) < L_\alpha ^p,\) so ist \( S_p' \leqq A^{\frac {(2-p)}{p}} J_p.\) Wenn \(\sum |c_n|^p\) konvergiert, so sind die \(c_n\) \textit{Fourier}koeffizienten einer Funktion \(f(x)\), so daß \(W(x) f(x) < L_\alpha ^{p'}\) und \(J_{p'} \leqq A^{\frac {(2-p)}{p}} S_p\) ist. Die Beweise beruhen auf analogen Hilfssätzen, wie bei \textit{Riesz}. Beispiele für Polynome \(A_n(x)\) sind die \textit{Jacobis}chen \(P_n^{(\alpha,\beta )}(x),\;\alpha > -1,\;\beta > -1, \) mit \(p(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta,\;a = -1,\;b = 1,\;\alpha (x) = \arcsin x\); die \textit{Legendres}chen \((\alpha = 0,\;\beta = 0)\) und die \textit{Hermites}chen \((p(x) = c^{-x^2},\;a = -\infty,\;b = \infty,\;\alpha (x) = x).\) Die Verallgemeinerung des \textit{Paleys}chen Satzes lautet, wenn unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen unter \(c_0,c_1,c_2,\cdots \) eine Zahlenfolge mit \(c_n \rightarrow 0\) verstanden wird, deren der Größe nach geordnete absoluten Beträge \(c_0^\ast, c_1^\ast, c_2^\ast, \cdots \) sind: Wenn \(\sum c_n^{\ast p'} n^{p'-2}\) konvergiert, dann ist \[ W(x) f(x) \sim W(x) \sum c_n A_n(x) \] von der Klasse \(L_\alpha ^{p'}\) und \((J_{p'})^{p'} \leqq A \sum c_n^{\ast p'} (n+1)^{p'-2}\). Geht man umgekehrt von \(f(x)\) aus mit \(W(x) f(x) < L_\alpha ^p\), so ist \(\sum c_n^{\ast p} (n+1)^{p-2} \leqq AJ_p.\)