Sobre algunas propiedades de la función \(\zeta (z)\) de Rieman. (Q2620391)

Es wird dir Funktion \((z-1) \zeta (z)\) in der Halbebene \(\mathfrak R (z) > -p+1\) \((p \geq 1)\) durch ein Polynom approximiert, nänlich: \[ P(z) = z+ \sum _{k=1}^p (z+k-2)^{(k} \frac {B_k}{k!}. \] (Die \(B_k\) sind die \textit{Bernoulli}schen Zahlen, und \(z^{(p}\) bezeichnet die Faktorielle \(z(z-1) \dots (z-n+1)\)). Der Rest wird durch folgendes Integral darstellt: \[ R(z) = - \frac {(z+p-1)^{(p+1}}{p!} \sum _{n=1}^{\infty } \int _0^1 \frac {B_p(t)dt}{(n+t)^{z+p}}. \] (Die \(B_p(z)\) sind die \textit{Bernoulli}schen Polynome.) Als Anwendung wird folgender Ausdruck gewonnen: \[ \zeta (z) = \frac {(z+p-1)^{(p}}{(p-1)!} \int _S \frac {B_{p-1} (u)}{v^{z+p}} d\sigma \quad (R(z) > 1, p\geq 1), \] erstreckt über die Parallelogramme \(u =n\), \(u = n+1\); \(u = v\), \(u=v-n\) \((n=1,2,3, \dots )\).