Einige Darstellungssätze aus der Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung. (Q2620399)

Die Exponentialpolynome \[ \sum _{i=1}^n a_i e^{\alpha _i z} \quad (a_i, \alpha _i \quad \text{reelle oder komplexe Konstanten}) \] gehorchen zum Teil änhlichen Gesetzen wie die gewöhnlichen Polynome. Insbesondere ist nach \textit{J.F. Ritt} (1929; F. d. M. \(55_1\), 211-213) jede ganze Funktion, die algebraisch aus Exponentialpolynomen aufgebaut ist, selbst ein Exponentialpolynom. Verf. hat sich die Frage vorgelegt, ob dieser Satz allgemeiner für Ausdrücke der Form \[ \sum _{i=1}^n \varphi _i (z) e^{\alpha _i z^p} \tag{*} \] gilt, wo \(p\) eine ganze positive Zahl, die \(\alpha _i\) reelle oder komplexe Konstanten und die \(\varphi _i(z)\) ganze Funktionen von kleinerer Ordnung als \(p\) sein sollen. Ein Ausdruck dieser Art wird als ``scheinbares Exponentialpolynom \(p\)-ter KLasse'' bezeichnet. In der Tat kann Verf. unter Verwendung des \textit{Ritt}schen Beweisverfahrens, das sich auf die präzise \textit{Nevanlinna}sche Fassung des \textit{Phragmén-Lindelöf}schen Prinzips stützt, wenigstens für die zwei einfachsten nicht trivialen algebraischen Operationen Division und Wurzelausziehung zeigen: 1) Ist der Quotient \(f(z) = \frac {A(z)}{B(z)}\) zweiter scheinbarer Exponentialpolynome \(A(z)\), \(B(z)\) derselben Klasse \(p\) eine ganze Funktion, so ist \[ f(z) = \frac {\Phi (z)}{\Psi (z)} C(z), \] wo \(C(z)\) wieder ein scheinbares Exponentialpolynom der Klasse \(p\) ist, während \(\Phi (z)\) und \(\Psi (z)\) Teiler von \(A(z)\) bzw. \(B(z)\) sind. (Dabei wird als ``Teiler'' eines scheinbaren Exponentialpolynoms \((*)\) jede ganze Funktion \(\varphi (z)\) angesprochen, deren Ordnung kleiner als \(p\) ist, und deren Nullstellen genau die gemeinsamen Nullstellen von \(\varphi _1 (z), \varphi _2(z), \dots, \varphi _n (z)\) sind.) 2) Ist die \(\mu \)-te Wurzel eines scheinbaren Exponentialpolynoms \(A(z)\) der Klasse \(p\) eine ganze Funktion \(f(z)\), so ist \(f(z)\) selbst wieder ein scheinbares Exponentialpolynom der Klasse \(p\). Den Anstoß zu der vorliegenden Unterschung gab ein Problem aus der Wertverteilungstheorie der algebroiden Funktionen, nähmlich die Frage nach algeroiden Funktionen, welche gewisse Werte \(a_1, a_2, \dots, a_q\) im Endlichen mit festen Multiplizitäten \(\tau _1, \tau _2, \dots, \tau _q\) annehmen und eine Defektrelation \[ \sum _{i=1}^q \left ( 1 - \frac {1}{\tau _i} \right ) \leq 2k \quad (2k = \text{Defektschranke}) \] besitzen, inder das Gleichheitszeichen gilt. Der Zusammenhang dieser Frage mit dem Gegnstand der Note wird zum Schluß kurz dargelegt.