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Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entières d'orde infini. - MaRDI portal

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Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entières d'orde infini. (Q2620403)

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Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entières d'orde infini.
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    Sur les valeurs asymptotiques des fonctions entières d'orde infini. (English)
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    1934
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    Verf. legt sich die Frage vor, was bei einer ganzen Funktion unendlicher Ordnung an Stelle des \textit{Denjoy-Ahlfors}schen Satzes tritt, der besagt, daß die Anzahl der verschiedenen endlichen asymptotischen Werte einer ganzen Funktion der Ordnung \(\varrho \) höchstens gleich \(2\varrho \) ist (vgl. \textit{Ahlfors}, 1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 984). Die Grundlage seiner Ausführungen ist das folgende Lemma: \(\varphi (z)\) sei in einem abgeschlossenen Rechteck regulär und beschränkt: \(|\varphi (z)|<K\); auf zwei parallelen Seiten gelte mit kleinem \(\varepsilon \) bzw: \[ |\varphi (z) - a| < \varepsilon, \quad |\varphi (z) - b| < \varepsilon, \] wobei \(|a|, |b| <K\). Dann ist \[ |a-b|< 4 \varepsilon ^{\frac {1}{4}} K^{\frac {3}{4}}. \] Aus diesem Lemma folgt leicht der bekannte \textit{Lindelöf}sche Satz von der Gleichheit der Grenzwerte einer beschränkten Funktion bei Annäherung an einen Randpunkt auf verschiedenen Wegen, der eine Grundlage des \textit{Ahlfors}schen Beweises ist. Man vergleiche dazu auch das Lemma von \textit{Pólya} über die analytische Deformation eines Rechteck (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 348). Dieser Hilfssatz wird nun auf folgende Konfiguration angewendet: \(a_i\) \((i=1, \dots,n)\) seien verschiedene asymptotische Werte der ganzen Funktion unendlicher Ordnung \(f(z)\), die auf den Wegen \(L_i\) angestrebt werden, wobei von diesen nur jeweils ein Ende gezeichnet sei, auf dem \(|f(z) - a_i|<\varepsilon \). Außerdem sei \(|a_i - a_j| > \varepsilon '\) für \(i \neq j\), und es seien alle \(|a_i| <M\). Man schneide das System der \(L_i\) mit einem Kreisring \(r< |z| <R\). Indem man nun auf die Stücke, in die dieser durch die \(L_i\) zerlegt wird, dieselben Gedankengänge anwendet, wie \textit{Ahlfors} beim Beweise des eingangs zitierten Satzes, wobei nur eben der \textit{Lindlöf}sche Satz durch obiges Lemma zu ersetzen ist, erhält man eine obere Schranke für die Anzahl \(n\), in die insbesondere \[ \frac {\log _2 M(R,f)}{\log R} \] eingeht. Dabei sind die Größen \(r\), \(R\), \(\varepsilon \), \(\varepsilon '\), \(M\) in gewisser Weise in gegenseitige Abhängigkeit zu bringen. Für gewisse Funktionen gibt es dabei Ausnahmeintervalle \((r,R)\). Der Beweisgang und vielleicht auch das Resultat ließen sich wohl vereinfachen, wenn man in Analogie zu dem Beweise des \textit{Denjoy-Ahlfors}schen Satzes von \textit{Macintyre} (1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 341) vorginge.
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