Sur deux questions extrémales. (Q2620435)

Beim ersten Problem werden die Abbildungen \(f(z)\) des Kreisringes \(1<|z|<r\) auf ein Gebiet betrachtet, das begrenzt wird von \(|w|=1\) und einer Kurve \(L^r\), die durch den unendlich ferner Punkt geht; dabei soll \(|z|=1\) in \(|w|=1\) übergehen. Gefragt wird nach \(\max |f'(z)|\) und \(\min |f'(z)|\) auf \(|z|=1\), wenn \(f(z)\) alle diese Abbildungen durchläuft. Die Schranken werden erreicht, wenn \(L^r\) eine Halbgerade auf der positiven reellen Achse ist, und zwar die untere Schranke in \(z=1\), die obere in \(z=-1\). Der Beweis der zweiten Behauptung wird auf den \textit{Koebe}schen \(\frac {1}{4}\)-Satz zurückgeführt, indem die Abbildung über \(|z|=r\) hinaus fortgesetzt wird; man erhält dann, wenn man \(\frac {1}{r}<|z|<r\) längs der reellen Achse aufschneidet und die Abbildung passend normiert, eine Abbildung eines einfach zusammenhängenden Bereichs, die \(-1\) festläßt und 0 und \(\infty \) ausläßt. Zum Beweis der ersten Behauptung wird ein ähnliches Verfahren zur Erzeugung der Funktion \(f(z)\) eingeschlagen, wie bei \textit{Löwner} (1923; F. d. M. 53, 714 (JFM 53.0714.*)). - Die Resultate finden sich schon, wie Verf. erwähnt, bei \textit{Grötzsch} (Berichte Leipzig 80 (1928), 497-502 (f. d. M. 54, 378), insbes. S. 501). Das zweite Problem ist ein hydrodynamisches, das mit Mitteln der konformen Abbildung gelöst wird. Ein \textit{Jordan}bogen \(AB\) mit stetig veränderlicher Tangente liege in einer Strömung einer vollkommenen Flüssigkeit, deren Geschwindigkeit im Unendlichen gleich 1 sei; die Verzweigungspunkte beim Umströmen des Bogens seinen \(A\) und \(B\). \(\Lambda \) sei die Menge der Bogen, die \(A\) und \(B\) im Innern des Kreises über \(AB\) verbinden, und die in jedem Punkt eine Krümmung haben, die eine gewisse Schranke \(K<\frac {2}{\overline {AB}}\) nicht übertrifft. Gefragt ist nach demjenigen Bogen aus \(\Lambda \), für den die resultierende Kraft der Strömung auf ihn ein Maximum ist. Es ergibt sich ein Kreisbogen mit dem Radius \(\frac {1}{K}\). Zum Beweise dient ein Hilfsatz, der angibt, wie sich die resultierende Kraft auf eine geschlossene Kurve \(C\) ändert, wenn einer der beiden Bogen, in die \(C\) durch die Verzweigungspunkte der Strömung zerlegt wird, so daß er ganz im Innern, oder ganz im Äußern von \(C\) veräuft. (VI 4 B.)