On the theory of schlicht function. (Q2620437)

Es werden bekannte Ungleichungen für in \(|z|<1\) ``sternförmige'' und ``konvexe'' schlichte Funktionen \(f(z)\) verschärft für den Fall, daß \[ f(z) = z+c_1z^{k+1} + c_2z^{2k+1} + \dots \] Ist \(f(z)\) sternförmig, so gilt \[ |c_n| \leq \frac {1}{n!} \frac {2}{k} \left ( \frac {2}{k}+1 \right ) \dots \left ( \frac {2}{k}+ (n-1) \right ), \] und für konvexes \(f(z)\) ist \[ |c_n| \leq \frac {1}{nk+1} \frac {1}{n!} \frac {2}{k} \left ( \frac {2}{k}+1 \right ) \dots \left ( \frac {2}{k}+ (n-1) \right ). \] Eine Verschärfung eines \textit{Strohhäcker}schen Satzes (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 353) ist: Für sternförmiges bzw. konvex \(f(z)\) liegt für \(|z| \leq r<1\) der Punkt \(\frac {f(z)}{z}\) bzw. \(f'(z)\) im Bildbereich von \(|\zeta | \leq r^k\) bei der Abbildung durch \(\frac {1}{(1-\zeta )^{\frac {2}{k}}}\). Hieran knüpfen sich einige weitere Abschätzungen. Ein Satz von \textit{Szegö} (1928; F. d. M. 54, 336 (JFM 54.0336.*)) wird folgendermaßen verschärft: Für strenförmiges bzw. konvexes \(f(z)\) ist jeder Abschnitt sternförmig bzw. konvex für \(|z|< \root k \of {\frac {k}{2(k+1)}}\). Einige damit verwandte Sätze werden aufgestellt. Bei jeder gefundenen Schranke gibt Verf. eine Funktion an, bei welcher sie angenommen wird. Mit Hilfe einer hinreichenden Bedingung für Schlichtheit (Positivität des Realteils der Ableitung in einem konvexen Gebiet) wird bei gegeben \(c_0\) und \(c_1\) \((c_0 \neq 0)\) der größte Kreis um den Ursprung gefunden, in welchem jedes für \(|z|<1\) reguläre \[ c_0z+ \frac {c_1}{2}z^2 + \dots \] mit \(|f'(z)|<1\) schlicht ist. Zum Schluß wird gezeigt, daß für ein für \(|z|<1\) meromorphes und schlichtes \(\frac {1}{z} + c_2z^2 + c_3z^3 + \dots \) gilt: \[ |1 + c_2 + \dots + c_n| \leq 2+\sqrt {\frac {241}{432}} \quad (n=2,3, \dots ). \]