Quelques remarques sur les fonctions univalentes. (Q2620441)

Die Funktion \[ f(z) = z + a_2z^2 + \dots + a_nz^n + \dots \] sei für \(|z|<1\) regulär. 1) Verf. gibt einen einfachen Beweis für die \textit{Littlewood}sche Ungleichung \[ \frac {1}{2 \pi } \int _0^{2\pi } |f (re^{i \varphi })|^{\lambda } d \varphi < \lambda \int _0^{r} r^{\lambda -1} (1-r)^{-2\lambda } \alpha r \] für schlichte \(f(z)\) (1925; F. d. M. 51, 247 (JFM 51.0247.*)). 2) Für typisch-reelle \(f(z)\) wird insbesondere bewiesen: Setzt man \[ \sigma _p = 1+ a_2 + \dots + a_p, \quad f(1) = \lim _{x \to 1-0} f(x) \quad (\leq \infty ), \] so gilt \[ \left | f(1) - \left ( \sigma _p + \frac {a_{p+1}}{2} \right ) \right | - \left ( f(1) - \left ( \sigma _p + \frac {a_{p+1}}{2} \right ) \right ) \leq \sigma _p + \frac {a_{p+1}}{2} \leq 2f (1) \] und \[ \lim _{n \to \infty } \frac {\sigma _1 + \sigma _2 + \dots + \sigma _n + \frac {1}{2} \sigma _{n+1}}{n} = f(1). \] Die auf dem Wege zu diesem Ergebnis hergeleiteten entsprechenden Ungleichungen für typisch-reelle Polynome können übrigens wesentlich verschärft werden. 3) Der schlichtheitsradius eines allgemeinen \(f(z)\) wird durch eine besonders einfache Überlegung mit \[ R = \frac {1}{2} \text{fin} \inf \root n-1 \of {\frac {1}{n|a_n|}} \] nach unten abgeschätzt.