Sur les polynomes univalents. (Q2620442)

Auf elementarem Wege beweist Verf.: es sei \(f(z)\) ein Polynom mit den Nullstelln \(0, \alpha _1, \dots, \alpha _{n-1}\) (\(\alpha _{\nu } \neq 0\), \(\nu =1, \dots, n-1\)); \(a\) sei die kleinste Nullstelle von \(f'_0(z)\), wo \[ f_0 (z) = z (z-| \alpha _1|) \dots (z-|\alpha _{n-1}|). \] Dann ist \(f(z)\) schlicht in \(|z|\leq a\) und bildet diesen Kreis auf ein in bezug auf 0 strenförmiges Gebiet ab. Das ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Alexander} (1915; F. d. M. 45, 672 (JFM 45.0672.*); s. a. \textit{Montel}, Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 346), p. 26). In analoger Weise wird ein Satz von \textit{Biernacki} verallgemeinert, der einen Kreis angibt, in dem ein Polynom \[ z^p + a_{p+1} z^{p+1} + \dots + a_nz^n \] \(p\)-valent ist (\textit{Biernacki}; 1928; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 863; s.a. \textit{Montel}, loc. cit.). (IV 6 A.)