Über eine Klasse von Riemannschen Flächen und ihre Uniformisierung. (Q2620445)

Die vorliegende Arbeit schließt sich eng an die von \textit{R. Nevanlinna} an: Über \textit{Riemann}sche Flächen mit endlich vielen Windungspunkten (Acta math. 58 (1932), 295-373; F. d. M. 58). Es handelt sich auch hier um einfach zusammenhängende, schlichtartige \textit{Riemann}sche Flächen (R.F.); während dort sämtliche Windungspunkte als logarithmisch vorausgesetzt werden, werden hier außerdem noch endlich viele algebraische zugelassen. Gefragt wird nach dem Typus der R.F. (d.h., ob sie bei konformer Abbildung auf einen Kreis einen solchen von endlichem oder unendlichem Radius ergibt) und nach den Eigenschaften der Umkehrungsfunktion der uniformisierenden Funktion. Die beiden ersten Kapitel sind der Topologie solcher R.F. gewidmet. \(a_1, \dots,a_q\) seien die Punkte der \(w\)-Ebene (der Ebene, über der dir R.F. liegt), in die sich die Singularitäten der Fläche \(F\) pojizieren. Von dieser wird vorläufig weder einfacher Zusammenhang noch Schlichtartigkeit vorausgesetzt. Zu ihrer Charakterisierung dient dann der von \textit{Speiser} und \textit{R. Navanlinna} zu diesem Zweck eingeführte topologische Baum, jetzt, in Übereinstimmung mit der Ausdrucksweise der Topologie, richtiger Streckenkomplex genannt (\textit{Speiser}, 1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 189. \textit{R. Nevanlinna}, Über die \textit{Riemann}sche Fläche einer analytischen Funktion, Verhandlungen Kongreß Zürich 1932,1, 221-239; F. d. M. 58). Man erhält einen zu \(F\) gehörigen Baum, indem man eine einfach geschlossene Kurve \(L\) durch die Punkte \(a_1, \dots, a_q\) legt und in ihrem Innerngebiet \(I\) und in ihrem Außengebiet \(A\) je einen Punkt \(w_i\) bzw. \(w_a\) markiert; ein über \(w_i\) auf der Fläche liegender Punkt ist dann mit einem beliebigen über \(w_a\) liegenden durch einen einfachen Kurvebogen (ein Glied) zu verbinden, der \(L\) genau einaml, und zwar auf dem Bogen \(a_ia_{i+1}\) (\(i=1,\dots,q\); die Indices seien mod \(q\) reduziert), trifft, wenn die beiden Blätter, in denen die Punkte liegen, längs dieses Bogens zusammenhängen. Diese Glieder, zusammen mit ihren Endpunkten, den Knoten, bilden den Baum. Er enthält also die Konstruktionsvorschtift, nach der die R.F. aus den (beliebig oft vorhanden zu denkenden) Exemplaren von \(I\) und \(A\) aufzubauen ist. Um zur Veranschaulichung der R.F. beizutragen, muß er natürlich durch eine topologisch gleichwertige Figur in der schlichten Ebene ersetzt werden. \textit{Speiser} und \textit{Nevanlinna} haben ihn darum nach der topologischen Uniformisierung der R.F. konstruiert. Verf. dagegen ermittelt den Zusammenhang zwischen seinen Eigenschaften und denen der R.F. direkt. Zunächst zeigt er, daß zu jeder schlichtartigen Fläche der angegebenen Art ein Baum gehört und umgekehrt (ist die Fläche nicht schlichtartig, so kann er nicht mehr in der schlichten Ebene ohne Selbstüberkreuzungen untergebracht werden). Notwendig und hinreichend für den einfachen Zusammenhang der Fläche ist, daß es in dem Baum keinen einfach geschlossenen Teilkomplex gibt, der zwei unendliche Teilkomplexe voneinander trennt. -Dann wird die allgemeine Struktur des Baumes bei einer Fläche der eingangs charakterisierten Klasse angegeben: Dabei ergibt sich, daß über einem \(a_i\), wie in dem von \textit{Nevanlinna} betrachteten Fall, höchstens die Hälfte aller logarithmischen Verzweigungspunkte liegen kann (Bedingung I). In dem Fall, daß nur über zwei Grundpunkten \(a_i\) und \(a_j\) logarithmische Verzweigungspunkte liegen, besteht eine Ungleichung zwischen den die Verzweigungsverhältnisse charakterisierenden Zahlen (Bedingung II). Diese R.F. entstellen, wie leicht zu sehen, als die Bildflächen der Funktion \(\frac {P(z)}{Q(z)}e^{G(z)}\), wo \(P\), \(Q\), \(G\) Polynome sind. Es ist nun nicht schwer, zu zeigen, daß, wenn beliebige \(a_k\) \((k=1, \dots, q)\) mit zugehörigen Zahlen \(\mu _k, r_k, \lambda _1^{(k)}, \dots, \lambda _{rk}^{(k)}\) vorgegeben sind, man immer eind R.F. konstruieren kann, die über \(a_k\) gerade \(\mu _k\) logaritmische Verzweigungspunkte und \(r_k\) algebraische Verzweigungspunkte mit den Ordnungen \(\lambda _1^{(k)}, \dots, \lambda _{rk}^{(k)}\) hat, wenn nur diese Zahlen den Bedingungen I und II genügen. Man stellt dazu den entsprechenden Baum her. Die Uniformisierungsfunktionen einer solchen Fläche \(F\) werden dann in Kapitel 3 konstruiert, indem eine Folge geschlossener Flächen von Geschlecht Null gebildet wird, die gegen die volle Fläche \(F\) wachsende Teilflächen mit derselben gemeinsam haben. Diese werden durch die Umkehrungen rationaler Funktionen \(R_n(z)\) uniformisiert, die mit \(n\to \infty \) gegen \(w(z)\) streben, die ein gewisses Gebiet \(H\) der \(z\)-Ebene auf \(F\) abbildet. Mit Hilfe der \textit{Schwarz}schen Ableitung \(\{ w,z\}\) folgt dann wie bei \textit{Nevanlinna}, daß \(H\) (bei geeigneter Normierung) die ganze endliche \(z\)-Ebene, \(w(z)\) also eine meromorphe Funktion ist, womit die erste der eingangs gestellten Fragen beantwortet ist. \(w(z)\) genügt dabei der Differentialgleichung \[ \{ w,z \} = R(z) \tag{*} \] wo \(R(z)\) eine rationale Funktion ist (in dem von \textit{Nevalinna} untersuchten Falle ist \(R(z)\) ein Polynom). Es entsteht nun umgekehrt die Frage - die in Kapitel 4 behandelt wird -, wie \(R(z)\) beschaffen sein muß, damit \((*)\) eine in der ganzen Ebene meromorphe Lösung zuläßt, und ob eine solche stets eine Bildfläche der vorhin betrachteten Art ergibt. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für \(R(z)\) werden ermittelt. Mit Hilfe der auch von \textit{Nevanlinna} loc. cit. angewendeten \textit{Hille}schen asymptotischen Integrationsmethode (\textit{Hille}, 1927; F. d. M. 53, 412 (JFM 53.0412.*)) werden ferner die Lösungen von \((*)\) in der Umgebung von \(z=\infty \) untersucht (die Resultate gelten dabei auch für den Fall mehrdeutiger Lösungen). Es ergibt sich (im Falle eindeutiger Lösungen) insbesondere die genaue Anzahl der asymptotischen Werte von \(w(z)\), also der transzendenten Singularitäten der \textit{Riemann}schen Bildfläche; sie ist \(p\), wenn \(p-2\) die Ordnung des höchsten Gliedes in der \textit{Laurent}entwicklung von \(R(z)\) bei \(\infty \) ist. Die Anzahl der algebraischen Singularitäten ist gleichfalls endlich, da solche nur in den Polen von \(R(z)\) auftreten können. Damit ist die vorhin gestellte Frage beantwortet. Die Ordnung von \(w(z)\) ist gliech \(\frac {p}{2}\). (IV 4.)