Über gewisse orthogonale Polynome, die zu einer oszillierenden Belegungsfunktion gehören. (Q2620454)

Es sei \(Q_n (x) = \frac {1}{2} \int _{-1}^{+1} \frac {P_n (t)}{x-t} dt\) \textit{Legendre}sche Funktion zweiter Art. \textit{Stieltjes} hat die Vermutung ausgesprochen, daß die durch \[ \frac {1}{Q_n(x)} = E_n(x) + a_1x^{-1} + a_2x^{-2} + \dots \] definierten Polynome \(E_n(x)\) reelle, einfache und im Inneren von \((-1,+1)\) gelegene Nullstellen besitzen, die durch die Nullstellen von \(P_n (x)\) getrennt werden. Verf. beweist diese Vermutungen, indem er zunächst eine Orthogonalitätsbeziehung \[ P_n (x) E_n (x) = c_0 P_{n+1} (x) + c_1 P_{n+2}(x) + \dots + c_n P_{2n+1}(x) \] ableitet, die sich bei \textit{Stieltjes} in der Form \[ \int _{-1}^{+1} P_n(x) E_n(x) x^k dx = 0 \quad (k = 0,1, \dots, n) \] findet. Er führt sodann die Funktion \(Q_n^* (x) = \frac {1}{2} \lim \limits _{\varepsilon \to +0} (Q_n (x+ i \varepsilon ) + Q_n (x-i \varepsilon ))\) und das zu \(E_n (\cos \varphi ) = \lambda _0 \cos (n+1) \varphi + \lambda _1 \cos (n-1) \varphi + \dots \) gehörende Sinuspolynome \(e_n (\varphi )\) ein. Aus Beziehungen, die zwischen den Koeffizienten der Entwicklungen von \(Q_n^* (\cos \varphi ) + \frac {i \pi }{2} P_n (\cos \varphi )\) und \(E_n (\cos \varphi ) + ie_n (\varphi )\) nach Potenzen von \(e^{i \varphi }\) bestehen, läßt sich die Realität der Nullstellen von \(E_n (x)\) gewinnen. Daß sie durch die von \(P_n(x)\) getrennt werden, zeigt Verf. unter Benutzung einer Ungleichung \[ Q_n^* (\cos \varphi ) E_n (\cos \varphi ) + \frac {\pi }{2} P_n (\cos \varphi ) e_n (\varphi ) >0. \] Die Sätze lassen sich auf den Fall der ultrasphärischen Polynome (\textit{Jacobi}sche Polynome mit gleichen Parametern) \(P_n^{(\mu )}(x)\) ausdehnen, vorausgesetzt, daß \(0 < \mu \leq 2\). An die Stelle von \(Q_n(x)\) tritt dann die Funktion \[ \frac {1}{2} \frac {\Gamma (2 \mu )}{\Gamma \left ( \mu + \frac {1}{2} \right )} \int _{-1}^{+1} (1-t^2)^{\mu - \frac {1}{2}} \frac {P_n^{(\mu )} (t)}{x-t} dt. \] Nach einer Bemerkung über die durch \(e_n (\varphi ) = \sin \varphi G_n (\cos \varphi )\) definierten Polynome \(G_n(\varphi )\), deren Nullstellen auch reell sind und die von \(Q_n^*\) trennen, zeigt Verf. noch die Gültigkeit der Quadraturformel \[ \frac {1}{2} \int _{-1}^{+1} P_n (x) A(x)dx = \sum _{i=0}^n \frac {A(x_i)}{E'_n (x_i)} \] auf den Nullsrellen \(x_i\) von \(E_n (x)\).