Über ein Additionstheorem der Kugelfunktionen und seine Anwendungen auf die Richtungsquantisierung der Atome. (Q2620457)

Mit einem Atomstrahl kann man einen ersten \textit{Stern-Gerlach}-Effekt mit Magnetfeld in \(z\)-Richtung machen, die mit der magnetischen Quantenzahl \(m\) behafteten Atome ausblenden und dieselben einem zweiten \textit{Stern-Gerlach}-Effekt mit Magnetfeld in \(z'\)-Richtung aussetzen. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit für die magnetischen Quantenzahlen \(m'\) bezüglich der neuen \(z'\)-Richtung. Es handelt sich also um die Entwicklung der zugeordneten Kugelflächenfunktionen nach solchen, die auf eine andere \(z\)-Achse Bezug nehmen: \[ P_l^m (\cos \Theta ) e^{im \Phi } = \sum _{m' = -l}^{+l} C_{mm}^{(l)} P_l^{m'} (\cos \Theta ') e^{im' \Phi '}. \tag{3} \] Dies Entwicklungstheorem ist in der mathematischen und physikalischen Literatur über die Darstellung der dreidimensionalen reinen Drehgruppe längst vorgebildet (vgl. \textit{I. Schur}, 1924; F. d. M. 50, 293 (JFM 50.0293.*)-295. \textit{H. Weyl.} 1924; F. d. M. 50, 293 (JFM 50.0293.*); ferner die Lehrbücher von \textit{H. Weyl, E. Wigner} und \textit{B. van Waereden} über Gruppentheorie und Quantenmechanik (1928, 1931, 1932; F. d. M. 54, 954 (JFM 54.0954.*); 57; \(58_{\text{I}}\)), aber anscheinend niemals als Satz über Kugelfunktionen ausgesprochen worden. (3) ist die Verallgemeinerung des speziellen Additionstheorems \[ P_l (\cos \Theta ) = \sum _{m'=-l}^{+l} \frac {(l-|m'|)!}{l+|m'|)!} P_l^{m'} (\cos \vartheta ) P_l^{m'} (\cos \Theta ') e^{im' \Gamma }. \tag{4} \] (s. z. B. \textit{Webster-Szegö}, Partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Leipzig 1930 (F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 418), S. 370). Um zur Bestimmung der Entwickungskoeffizienten \(C_{mm'}^{(l)}\) von (3) bzw. \(D_{mm'}^{(l)}\) von \[ Y_{lm} (\Theta, \Phi ) = \sum _{m'=-l}^{+l} D_{mm'}^{(l)} Y_{lm'} (\Theta ', \Phi ), \tag{29} \] \[ Y_{lm} (\Theta, \Phi ) = \sqrt {\frac {2l+1 (l-|m|)!}{4 \pi (l+|m|)!}} P_l^m (\cos \Theta ) e^{im\Phi } \] zu kommen, schlägt Verf. folgenden Weg ein: Die \textit{Maxwell}sche Definition der Kugelflächenfunktionen \[ r^{l+1} \frac {\partial ^l}{\partial x^a \partial y^b \partial z^c} \left ( \frac {1}{r} \right ) \] ergibt für \(l \geq 2\) linear abhängige Ausdrücke; die mittels \[ p = x+iy, \quad q=x-iy, \quad z=z \tag{8} \] \[ \frac {\partial ^2}{\partial p \partial q} \sim - \frac {1}{4} \frac {\partial ^2}{\partial z^2} \tag{9'} \] daraus abgeleiteten \[ Y_{lm} (\Theta, \Phi ) \sim r^{l+1} \frac {\partial ^l}{\partial q^m \partial z^{l-m}} \left ( \frac {1}{r} \right ) \quad \text{bzw.} \quad Y_{lm} (\Theta, - \Phi ) \sim r^{l+1} \frac {\partial ^l}{\partial p^m \partial z^{l-m}} \left ( \frac {1}{r} \right ) \tag{10} \] sind linear unabhängig. Man könnte leicht die in (10) auftretenden Differentiationssymbole elementar umrechnen. Der folgende Kunstgriff gestattet jedoch, eine Übersicht über die allgemeinen Verhältnisse zu gewinnen und zugleich den Zusammenhang mit der gruppentheretischen Methode zu erkennen: Man führt \[ \lambda = \left ( \frac {\partial }{\partial p} \right )^{\frac {1}{2}}, \quad \mu = \left ( \frac {\partial }{\partial q} \right )^{\frac {1}{2}} \tag{17} \] ein und fordert \[ \lambda \mu = \pm \frac {i}{2} \frac {\partial }{\partial z} \tag{18} \] entsprechend (9'). Es zeigt sich, daß sich die Umrechnungsgleichungen damit durch die einfache Form \[ \begin{cases} \lambda = e^{i \frac {- \varphi + \psi }{2}} \cos \frac {\vartheta }{2} \cdot \lambda ' + e^{-i \frac {\varphi + \psi }{2}} \sin \frac {\vartheta }{2} \cdot \mu ', \\ \mu = - e^{i \frac {\varphi + \psi }{2}} \sin \frac {\vartheta }{2} \cdot \lambda ' + e^{i \frac {\varphi - \psi }{2}} \cos \frac {\vartheta }{2} \cdot \mu ', \\ \end{cases} \quad (\vartheta, \varphi, \psi \quad \mathit{Euelr}\text{sche Winkel}) \tag{22} \] ersetzen lassen, wobei (18) bei der Transformation (22) erhalten bleibt. Damit ist das Transformationproblem der Kugelfunktionen auf eine einfache algebraische Aufgabe zurückgeführt. Man erhält \[ D_{mm'}^{(l)} = e^{i(m \varphi - m' \psi )} i^{|m|- |m'|} \sqrt {\frac {(l-m')!(l+m')!}{(l-m)! (l+m)!}}\tag{30} \] \[ \cdot \sum _{\varrho } (-1)^{m-m'+ \varrho } \begin{pmatrix} l-m \\ \varrho \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l+m \\ l+m' - \varrho \end{pmatrix} \left ( \cos \frac {\vartheta }{2} \right )^{2l-m+m'-2 \varrho } \left ( \sin \frac {\vartheta }{2} \right )^{m-m' + 2 \varrho }. \] Wie \textit{Süttinger} (Z. f. Physik 73 (1931), 169-184; F. d. M. 57) gezeigt hat, läßt sich die letzte Summe durch ein \textit{Jacobi}schen Polynom ausdrücken: \[ \sum _{\varrho } = \frac {1}{(l-m')!} \left ( \cos \frac {\vartheta }{2} \right )^{m+m'} \left ( \sin \frac {\vartheta }{2} \right )^{-m+m'} G_{l-m'} \left ( 2m' + 1, m' - m +1; \sin ^2 \frac {\vartheta }{2} \right ), \] wobei \[ G_n(a,b,\xi ) = \xi ^{1-b} (1-\xi )^{b-a} \frac {d^n}{d \xi ^n} [\xi ^{b+n-1} (1-\xi )^{a-b+n}]. \] Der Spezialfall \(m=0\) führt auf das Additionstheorem (4) zurück, \(\Gamma = \Psi - \psi - \frac {\pi }{2}\).