Sulle serie di potenze che rappresentano funzioni razionali a coefficienti razionali e con i poli appartenenti ad una progressione geometrica. (Q2620470)

Gegeben ist die Potenzreihe \[ \sum _0^{\infty } \frac {s_n}{t_n} z^n = f(z) \] \(s_n\), \(t_n\) ganz rational, teilerfremd; \(t_n \geq 1\). \((f(z)\) sei eine rationale Funktion mit den einfachen Polen \(a^{-m_j}\) \((j=0, \dots,h)\), wo \(a\), \(m_j\) ganz rational sind und \[ m_0 = 0 < m_1 < m_2 < \dots < m_h, \quad |a| \geq 2 \] gilt. Dann werden die folgenden arithmetischen Eigenschaften über die Koeffizienten bewiesen: 1) Ist \(l_x(p)\) der größte unter allen solchen Exponenten \(\alpha \), daß \(p^{\alpha } |s_0s_1 \dots s_x\) gilt, dann ist \[ l_x (p) < Kx : \log p \quad (K \; \text{unabhängig von} \; x,p) \] 2) Ist \(P_x\) der größte Primteiler des Produktes \(s_0s_1 \dots s_x\), so gilt \[ \overline {\lim }_{x \to + \infty } x \log x : P_x \leq 4. \] Diese Sätze gelten dann auch für alle Funktionen \(f^*\), die aus \(f\) durch eine endliche Anzahl der folgenden Operationen hervorgehen: \[ f+P(z), \quad \beta \cdot f(z), \quad \int _0^z dz \int _0^z dz \dots \int _0^z fdz, \quad f^{(k)}(z), \quad f(\gamma z). \] \(P\) sei dabei Polynom mit rationalen Koeffizienten, \(\beta \), \(\gamma \) seien rational. Der Beweis von (1) geht aus von ähnlichen Aussagen über polynomiale Kongruenzen mod \(p\), wie sie von \textit{Nagell} (1921; F. d. M. 48, 1173 (JFM 48.1173.*)) hergestellt wurden. Daraus läßt sich noch herleiten für ein irreduzibles Polynom \[ F(y) = c_0 + c_1y \dots + c_ny^n \quad (c_0 \neq 0, c_n \neq 0, n \geq 1, |a| \geq 2) \] \((a,c_i\) ganz) mit der Abkürzung \(G(x) = F(a^x):\) Ist \(P_x\) der größte Primteiler von \(G(1) \cdot G(2) \dots G(x)\), dann gilt \[ \overline {\lim }_{x \to + \infty } \frac {x \log x}{P_x} \leq 2 + \frac {2}{n}. \] Hieraus folgt leicht der Satz 2) für \(f(z)\). (III 8.)