On the hypergeometric functions of higher order. (Q2620478)

Das Integral \[ \int _q^h (u-a_1)^{b_1-1} (u-a_2)^{b_2-1} \dots (u-a_k)^{b_k-1} (u-x)^{\lambda -1}du, \] dessen Grenzen durch zwei Nullstellen des Integranden gegeben sind, genügt einer von \textit{Pochhammer} aufgestellten linearen homogen Differentialgleichung \(k\)-ter Ordnung. Der Verf. untersucht das Verhalten des Integrals bei einer endlichen Gruppe linearer, gleichzeitig \(u\) und \(x\) betreffender Transformationen, welche die Stellen \((a_1,a_2, \dots, a_k, \infty )\) untereinander vertauschen. Es ergibt sich hieraus die Möglichkeit, \textit{Pochhammer}sche Integrale auf Normaltypen zurückzuführen und diese in Reihen zu entwickeln. Endlich läßt sich zu der Gruppe mit Hilfe \textit{Pochhammer}scher Integrale eine \textit{Poincaré}sche Thetafunktion konstruieren.