On the behaviour of elliptic theta functions near the line of singularities. (Q2620504)

Untersucht wird im Anschluß an \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} das asymptotische Verhalten des Thetanullwerts \[ \vartheta _3 (0| \xi +iy) \] für \(y \to 0\), falls \(\xi \) und \(y\) reell, \(y>0\) und \(\xi \) irrational ist. Die Näherungsbrüche \(\frac {p_n}{q_n}\) des regelmäßigen Kettenbruchs \([c_1,c_2,c_3, \dots ]\) für \(\xi \) ordnen diesem eine Klasseneinteilung aller \(n\) zu. Die erste Klasse umfaßt die \(n\) mit geradem \(p_nq_n\), die zweite die restlichen \(n\). Transformiert man \(\xi +iy\) durch geeignete, mit den \(p_n\) und \(q_n\) gebildete Modulsubstitutionen hinreichend weit von der reellen Achse weg, so ergibt das Verhalten von \(\vartheta _3\) bei diesen Substitutionen die Sätze: (A) Eine Konstante \(K_1\), mit der für alle \(y>0\) gilt \(|\vartheta _3 (0|\xi +iy)| < \frac {K_1}{\root 4 \of {y}}\), gibt es dann und nur dann, wenn die \(c_{n+1}\), deren \(n\) zur ersten Klasse gehören, eine beschränkte Menge bilden. (B) Eine Konstante \(K_2 >0\), mit der für alle \(y>0\) gilt \(|\vartheta _3 (0|\xi +iy)| < \frac {K_2}{\root 4 \of {y}}\), gibt es dann und nur dann, wenn die \(c_{n+1}\), deren \(n\) zur zweiten Klasse gehören, eine beschränkte Menge bilden.