Sur certaines intégrales dépendant d'un paramètre. (Q2620512)

Die Arbeit behandelt Integrale der Gestalt \[ \int _{x_1}^{x_2} \frac {\gamma (x,u)}{y} dx. \] Darin sei \(\gamma \) eine für \(|x|\leq R\), \(|u|\leq \varrho \) reguläre Funktion und \(y\) die Quadratwurzel aus einem Polynom in \(x\), dessen höchster Koeffizient 1 ist, während die übrigen für \(|u|\leq \varrho \) reguläre Funktionen von \(u\) sind. Untersucht wird der funktionentheoretische Charakter im Kleinen der Abhängigkeit der Integrale von \(u\). Schon früher (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 385) hat der Verf. nachgewiesen, daß sie einer Differentialgleichung der \textit{Fuchs}schen Klasse genügen und sich daher in Reihen des bekannten Typus entwickeln lassen. Hier wird der Typus der Reihen genauer ermittelt. Führt man \(u^{1/P}\) (mit geeignetem \(P\)) statt \(u\) als Veränderliche ein, so kann man \[ y^2 = (x-e_1 (u')) \dots (x-e_n (u')) \] setzen mit regulären Funktionen \(e_1, \dots, e_n\). Nach dem Grad des Anfangsgliedes der Potenzreihe in \(u'\) werden die Nullstellen \(e_{\nu }\) in Gruppen eingeteilt. Für kleine \(u'\) liegen die Gruppen in getrennten Kreisringen um den Nullpunkt. Der Integrationsweg wird durch Deformation den Kreisringen angepaßt und in jedem Kreisring das Integral durch \(x=x'u'{}^{\alpha }\) umgeformt, so daß die betreffenden Nullstellen \(e'_{\nu } = e_{\nu } u'{}^{-\alpha }\) für \(u'=0\) nicht verschwinden. So ergibt sich der erstrebte Einblick in die Art der auftretenden Reihenentwicklungen. Ein Teilergebnis: in den Reihen tritt \(\log u\) nur in der ersten Potenz auf. (Dies läßt sich allerdings kürzer zeigen durch bloße Verfolgung der Deformation, die ein Intergrationsweg erfahren muß, wenn \(u'\) den Nullpunkt umkreist.) Einer späteren Arbeit vorbehalten bleibt der Fall eines beliebigen in \(x\) algebroiden Integranden.