Beiträge zur Theorie der Spektralschar. I. (Q2620556)

Eine Spektralschar bestehe aus einer Schar von Projektoren \(E \Delta \alpha \), die den Intervallen \(\Delta \alpha \) so zugeordnet sind, daß sie die folgenden Eigenschaften besitzen: 1) Ist \(\Delta ^1 \alpha \Delta ^2 \alpha = \Delta ^1 \Delta ^2 \alpha \) der Durchschnitt der Intervalle \(\Delta ^1 \alpha \), \(\Delta ^2 \alpha \), so ist \(E \Delta ^1 \alpha E \Delta ^2 \alpha = E \Delta ^1 \Delta ^2 \alpha \). 2) Bei \(\Delta ^1 \alpha + \Delta ^2 \alpha + \dots = \Delta \alpha \) gilt \[ E \Delta ^1 \alpha + E \Delta ^2 \alpha + \dots = E \Delta \alpha. \] 3) Es gebe ein abgeschlossenes Intervall \((\alpha, \beta )\), so daß \(E(\alpha, \beta ) =1\) wird. Ist nun \(\varphi (\alpha )\) eine stückweis stetige, komplexwertige, in \((\alpha, \beta )\) definierte Funktion, so läßt sich der Operator \(\int \varphi (\alpha ) Ed \alpha \) als Grenzoperator der Operatoren \(\sum \limits _{\nu } \varphi (\alpha _{\nu }) E\Delta _{\nu } \alpha \) erklären, wenn \(\alpha _{\nu }\) eine Stelle in \(\Delta _{\nu } \alpha \) ist und eine Folge von Einteilungen von \((\alpha, \beta )\) gewählt wird, für die die Maximalschwankung von \(\varphi \) in den \(\Delta _{\nu } \alpha \) gegen 0 geht. Zu jedem beschränkten, symmetrischen Operator \(A\) gibt es genau eine Spektralschar \(E \Delta \alpha \), so daß \(A= \int \alpha Ed\alpha \) wird. \(\varphi (A)\) läßt sich nun erklären als \(\int \varphi (\alpha ) Ed\alpha \). Diese Betrachtungen wendet Verf. auf die Spektralzerlegung unitärer Operatoren an. Ohne neuen Grenz\"bergang läßt sie sich auf die der beschränkten Operatoren zurückführen.