Sur l'équation différentielle \(x''+xA(t)=0\). (Q2620621)

Unter der Voraussetzung, daß \(A'(t)\) existiere und positiv sein, hatte \textit{M. Biernacki} (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1104-1105) die Lösungen der Gleichung \[ x'' +A(t)x =0 \tag{1} \] studiert, indem er einen Satz von \textit{Borel} und \textit{R. Nevanlinna} heranzog, und dabei insbesondere beweisen: Wenn \(A'(t)\) für \(t>t_0\) positiv ist und nicht wächst, ferener \(A(t)\) für \(t \to \infty \) gegen Unendlich strebt, so ist \[ \lim _{t \to \infty } x (t) = 0, \quad \overline {\lim }_{t \to \infty } |x (t)| \sqrt {A(t)} > 0. \] Angeregt durch diese Untersuchung und eine Frage \textit{Biernackis}, behandelt Verf. die Gleichung (1) unter der Voraussetzung, daß \(A(t)\) für \(t \to \infty \) wachsend unendlich wird, indem er folgenden Kunstgriff von \textit{Fatou} verwendet: Durch die Substitution \[ x(t) = Cr(t) \cos \left \{ \int _{t_0}^t \frac {cdt}{(r(t))^2} + h \right \} \quad (C,c,h \quad \text{Konstanten} \quad c>0) \tag{2} \] wird eine Funktion \(r(t)\) eingeführt, die Lösung der Differentialgleichung \[ r'' - \frac {c^2}{r^3} + A(t) r = 0 \tag{3} \] ist. Bedeutet \(r(t)\) irgendeine Lösung von (3) für irgendwie gewähltes positives \(c\), so kann man mittels (2) jede Lösung \(x(t)\) von (1) erhalten; man hat nur \(h\) und \(C\) geeignet zu wählen. Es sei \(A(t)>0\) für \(t>t_0\); es seien \(t_1<t_2< \dots \) die Nullstellen irgendeines Integrals \(x(t)\) oberhalb \(t_0\); jedes Intervall \(\langle t_n, t_{n+1} \rangle \) enthält genau eine Nullstelle \(z_n\) von \(x'(t)\), also genau ein Extremum \(x_n\) von \(x(t)\). Zunächst wird bewiesen: Ist \(r(t)\) für \(t>t_0\) monoton, so ist \[ |x_n| = \frac {\sqrt {c}}{\root 4 \of {A(z_n)}} \left [ 1 + o \left ( \frac {1}{z_n} \right ) \right ] \] für alle Intervalle \(\langle t_n, t_{n+1} \rangle \), für welche \[ \frac {A(t_{n+1})}{A(t_n)} - 1 = o \left ( \frac {1}{t_n} \right ) \] (``intervalles ordinaires'' in der Bezeichnung von \textit{Biernacki}). Dann wird der Fall behandelt, daß \(r(t)\) unendlich oft oszilliert, also \(r'(t)\) unendlich viele Nullstellen hat; die Maxima von \(r(t)\) seien \(r_0,r_2, \dots \), die Minima \(r_1, r_3, \dots \), die zugehörigen Nullstellen von \(r'(t)\) seien \(\tau _0, \tau _1, \dots \). Dann findet Verf., daß \[ \sqrt {A(\tau _m)} \leq \frac {c}{r_m r_{m+1}} \leq \sqrt {A(\tau _{m+1})} \quad (m=0,1,2, \dots ). \] Daruas folgt, daß mit wachsender Nummer die Maxima \(r_{2n}\), nicht größer werden können, die Minima \(r_{2n+1}\) fallend gegen 0 streben. Ferner ergeben sich die Abschätzungen \[ \frac {1}{\sqrt {A(\tau _{2n})}} \left [ \frac {\pi }{2} - \text{arctg} \sqrt {\frac {r_{2n-1}^2 - \frac {c^2}{r_{2n}^2 A(\tau _{2n})}}{r_{2n}^2 - r_{2n-1}^2}} \right ] \leq \tau _{2n} - \tau _{2n-1} \] \[ \leq \frac {\pi }{2} \frac {r_{2n-1}r_{2n}}{c} \leq \frac {\pi }{2 \sqrt {A(\tau _{2n-1})}}, \] \[ \frac {\pi }{2\sqrt {A(\tau _{2n-1})}} \leq \frac {\pi }{2} \frac {r_{2n}r_{2n-1}}{c} \leq \tau _{2n+1} - \tau _{2n} < \frac {r_{2n+1}}{r_{2n}} \sqrt {\frac {2}{A(\tau _{2n})}}. \] Diese Abschätzungen werden benutzt, um Aussagen über \(x(t)\) zu machen. Dabei beschränkt sich Verf. zunächst auf Intervalle \((t',t'')\), die von zwei konsekutiven Nullstellen von \(x(t)\) begrenzt es und mitsamt ihren beiden Nachbarintervallen ``ordinaires'' sind; außerdem wird \(C=1\) und \(r(t)\) positiv gewählt. Er findet, daß, falls \(r(t)\) im Innern von \((t',t'')\) ein Extremum hat, diese Maxima fast aller dieser Integrale \(x(t)\) die Größenordnung des Maximums haben, das \(r(t)\) in den betrachteten Intervallen oder in deren unmittelbarer Umgebung annimmt; es gibt immer ein ``Minimumintegral'', dessen Maximum die Größenordnung des Minimums hat, das \(r(t)\) ebendort annimmt. Ist aber \(r(t)\) in \((t',t'')\) monoton, so ist \[ \max |x(t)| = \left [ 1 + o \left ( \frac {1}{t} \right ) \right ] \sqrt {c} \left [ A(t) \right ]^{-\frac {1}{4}}. \] Insgesamt gilt: \[ \overline {\lim }_{t \to \infty } |x(t)| \sqrt {A(t)} \geq O(1). \] Dann wird in Beantwortung einer von \textit{Biernacki} aufgewofenen Frage bewiesen, daß immer ein Integral \(x(t)\) existiert, das für \(t\to \infty \) gegen Null strebt. Dieses Vorkommnis wird noch durch ein besonderes Beispiel illustriert, das überdies zeigt, daß in gewissen Fällen \(r(t)\) für \(t \to \infty \) nicht gegen Null strebt. Durch Zusatzvoraussetzungen, die \(A(t)\) betreffen, kann aber erzwungen werden, daß alle \(r(t) \to 0\) streben. In dieser Richtung beweist Verf: Sind alle Intervalle ``ordinaires'' existiert \(A'(t)\) und ist das Verhältnis der Extremalwerte von \(A'(t')\) für ein und dasselbe dieser Intervalle von der Form \(O(1)\), so strebt \(r(t)\) - wie auch \(x(t)\) - rascher gegen Null als eine gewisse negative Potenz von \(A(t)\), aber langsamer als eine andere negative Potenz von \(A(t)\).