Characteristic numbers, functions, and orthogonal properties of difference equations. (Q2620629)

Es seien \(U_x^{(r)}\) und \(U_x^{(s)}\) zwei zu verschiedenen Eigenwerten \(\lambda _r, \lambda _s\) gehörige Lösungen des Differenzen-Eigenwertproblems: \[ \begin{gathered} \varDelta ^2U_x + \lambda f_{x+1}U_{x+1}=0, \tag{1}\\ U_{\alpha }=U_{n+\alpha }=0, \tag{2} \end{gathered} \] wo \(\alpha \) eine Zahl aus dem Intervall \((0,1)\), \(f\) eine gegebene Funktion und \(n\) ganzzahlig \(\geqq 2\) sei. Dann gilt die \textit{Orthogonalitätsrelation} \[ \sum \limits _{x=\alpha +1}^{\alpha +n-1}f_xU_x^{(r)}U_x^{(s)}=0 \quad \text{für} \quad \lambda _r\neq \lambda _s. \] Über die zu verschiedenen Funktionen \(f\) gehörenden Lösungen des Anfangswertproblems \[ U_{\alpha }=0, \quad U_{\alpha +1}=\text{vorgegebene Zahl}, \] werden analog zu bekannten Sätzen aus der Theorie der Differentialgleichungen Ungleichungen abgeleitet, betreffend die Größe der Funktionswerte und die Lage der nächsten Nullstellen. Für den kleinsten Eigenwert \(\lambda \) von (1) wird die Minimumeigenschaft bewiesen \[ \lambda \leqq \dfrac {\sum \limits _{x=\alpha }^{n+\alpha -1}(\varDelta p_x)^2} {\sum \limits _{x=\alpha }^{n+\alpha -1}f_xp_{x+1}^2}, \tag{3} \] wo \(p_x\) irgendeine den Randbedingungen (2) genügende Funktion ist. Wird für \(p_x\) die erste Eigenfunktion eingesetzt, so steht in (3) das Gleichheitszeichen.