Sur le domaine d'existence des intégrales de l'équation \(p+f(x,y,z)q=g(x,y,z)\). (Q2620634)

Die Verf. verschärft Ergebnisse von \textit{E. Kamke} (Differentialgleichungen reeller Funktionen (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 375-377), S. 335-340) zu folgendem Satz: Die Funktionen \(f\) und \(g\) und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung nach \(y\) und \(z\) seien im Gebiet \[ 0\leqq x<a, \quad -\infty <y<\infty, \quad -\infty <z<\infty \] stetig; es soll eine Konstante \(A\) derart geben, daß\ in diesem Gebiet \[ | f_y'(x,y,z)| \leqq A, \quad | f_z'(x,y,z)| \leqq A, \quad | g_y'(x,y,z)| \leqq A, \quad | g_z'(x,y,z)| \leqq A. \] Die Funktion \(w(y)\) besitze im Intervall \(-\infty <y<\infty \) eine stetige Ableitung erster Ordnung; es sei dort überdies \(| w'(y)| \leqq C\), wo \(C\) eine Konstante ist. Dann hat die Differentialgleichung \[ \frac {\partial z}{\partial x} +f(x,y,z)\frac {\partial z}{\partial y} =g(x,y,z) \] genau ein Integral \(z(x,y)\), das sich für \(x=0\) auf \(z(0,y)=w(y)\) reduziert und in dem Streifen \[ 0\leqq x<\text{Min}\{ a,b\}, \qquad -\infty <y<\infty, \] wo \(b=\dfrac {1}{(1+C)A}\) zu setzen ist, stetige Ableitungen erster Ordnung hat. An dem Beispiel der Gleichung \[ \frac {\partial z}{\partial x}-A(y+z)\frac {\partial z}{\partial y}=A(y+z) \] und der Randbedingung \(w(y)=Cy\), in welchem \[ z(x,y)=y\frac {C+A(1+C)x}{1-A(1+C)x}, \] wird gezeigt, daß\ die Zahl \(b\) nicht allgemein durch eine größere ersetzt werden kann.