Quelques propiétés du groupe de Lorentz. Semi-vecteurs et spinors. (Q2620850)

Es wird gezeigt, wie man mit den Begriffen und Sätzen der \textit{Lie}schen Gruppentheorie in Anwendung auf die \textit{Lorentz}-Gruppe zu den Semivektoren und Spinoren gelangen kann. Statt der zeitlichen Variabeln \(t\) wird durchweg \(it\) benutzt \((c=1)\). Zunächst wird in üblicher Weise gezeigt, daß die \textit{Lorentz}-Gruppe \(G_6\) halbeinfach ist, und es werden die beiden einfachen invarianten Untergruppen \(G_3\) und \(G'_3\) angegeben. Gehört die Transformation \(A\) zu \(G_6\) so läßt sich also \(A\) zerlegen in der Gestalt \(A=B\cdot C\), wo \(B\) und \(C\) zu \(G_3\) bzw. \(G'_3\) gehören. Ein Semivektor erster Art ist dann eine vierkomponentige Größe, die sich bei einer \textit{Lorentz}-Transformation \(A\) mit Hilfe der Matrix \(B\) transformiert, während ein Semivektor zweiter Art sich dabei mit Hilfe der Matrix \(C\) transformiert. Für den linearen Raum \(S_4\) der Semivektoren werden sodann die minimalen invarianten Mannigfaltigkeiten aufgestellt, die sich als Mengen der Bildpunkte eines beliebigen Punktes \((\lambda _1, \lambda _2, \lambda _3, \lambda _4)\) dieses Raumes bei den Transformationen der Gruppe ergeben. Es ergibt sich dafür eine Schar von Ebenen. Die Semivektoren mit zwei unabhängigen Komponenten, die zu einer dieser Ebenen gehören, erweisen sich als Spinoren, denn die beiden unabhängigen Komponenten erleiden bei Ausführung einer \textit{Lorentz}-Transformation der ursprünglischen Variabeln eine lineare unimodulare Transformation. Zum Schluß wird auf die Behandlung der \textit{Dirac}schen Gleichungen nach \textit{Einstein} und \textit{Mayer} (Einheitliche Theorie von Gravitation und Elektrizzität, II. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1932, 130-137; F. d. M. 58) eingegangen.