Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung. (Q2620891)

Die \textit{Dirac}schen relativistische Theorie des Elektrons lieferte bekanntlich die Existenz des Spins ohne weitere Annahmen. Sie ließ auch die Positronen als unbesetzte Zustände negativer Energie verstehen und gab für den Prozeß der Erzeugung eines Paars (Positron und Elektron) durch ein Lichtquant der Energie \(> 2mc^2\) eine Erklärung. Man mußte dabei annehmen, daß die volle Bezetzung aller Elektronenzustände negativer Energie unbeobachtbar sei. Man überschritt dabei auch den Rahmen der Theorie, indem die \textit{Dirac}sche Wellengleichung sich auf ein Einkörperproblem bezieht und man dieselbe auf mehrere Teichen (Paarerzeugung) anwandte. Für solche Prozesse aber ist die Quantentheorie der Wellenfelder zuständig (\textit{Jordan-Klein-Wigner}, vgl. \textit{W. Heisenberg}, Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 745), Mathematischer Anhang). Die gewöhnliche Quantenmechanik geht von der Partikelmechanik aus; der Prozeß der Quantisierung liefert die Welleneigenschaften im dreidimensionalen Konfigurationsraum. Die Quantentheorie der Wellenfelder geht von ``anschaulichen'' elektromagnetischen oder \(\psi \)-Wellen im dreidimensionalen Raum aus und liefert durch den Prozeß der Quantisierung die Partikeleigenschaften, insbesondere auch die Prozesse, bei denen die Teilchenzahlen nicht erhalten bleiben; sie ist der gewöhnlichen Quantenmechanik mathematisch äquivalent. Verf. gehen von der relastivistischen \(\psi \)-Wellengleichung zweiter Ordnung aus und quantisieren diese ``anschaulichen'' \(\psi \)-Wellen nach dem Vorgang von \textit{Heisenberg} und \textit{Pauli} (1929, 1930; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 519; \(56_{\text{II}}\), 1302). Man faßt dabei \(\psi \) und \(f\frac {\partial \psi ^*}{\partial t} = \pi \) als dynamische Variablen auf, mit den Vertauschungsrelationen \[ i(\pi (x,t), \psi (x',t)) = i(\pi (x,t) \psi (x',t) - \psi (x',t) \pi (x,t)) = \delta (x-x'), \] wo \(\delta (x-x')\) die \textit{Dirac}sche Funktion ist, die nur für \(x=x'\) von Null verschieden ist; ebenso für die hermitesch konjugierten Größen \(\pi ^*\), \(\psi ^*\). Die Bewegungsgleichung \[ \frac {\partial f}{\partial t} = \frac {i}{h} [ \overline {H}, f], \quad \overline {H} = \int T_{44} dV = \int \left \{ h^2 \frac {\partial \psi ^*}{\partial t} \frac {\partial \psi }{\partial t} + h^2c^2 \sum _1^3 \frac {\partial \psi ^*}{\partial x^k} \frac {\partial \psi }{\partial x^k} + m^2 c^4 \psi ^* \psi \right \} dV, \] liefert die Wellengleichung \[ h^2 \frac {\partial ^2 \psi }{\partial t^2} = h^2 c^2 \Delta \psi - m^2 c^4 \psi. \] Die Ladungsdichte hat die Form \[ \varrho = - ie (\pi \psi - \pi ^* \psi ^*) \] mit den Eigenwerten \(0,\pm 1, \pm 2, \dots \), womit die Existenz entgegengesetzt geladener Teilchen erwiesen ist. - Die Berechnung der Paarerzeugung durch Lichtquanten ergibt ebenfalls dasselbe Ergebnis wie die Berechnung nach der eingangs erwähnten Löchertheorie. - Allerdings existiert in dieser Theorie, wie immer in der Wellengleichung zweiter Ordnung, kein Spin und dementsprechend \textit{Bose}-Statistik.