Alcuni aspetti matematici della nuova meccanica. (Q2620902)

Der Beginn dieser Arbeit gibt eine kritische Darstellung der Entwicklung der Wellenmechanik von den Anfängen bis zum System der \textit{Dirac}schen Gleichungen unter scharfer Hervorhebung der nötigen logischen Postulate. Auf dieser Grundlage stößt Verf. zu einer Verallgemeinerung der \textit{Dirac}schen Gleichugen vor. Will man diese nämlich auf allgemeine Koordinaten in einem Gravitationsfeld umformen, so ist die Einführung eines Orthogonalsystems im Raumzeitkontinuum erforderlich, das die Gleichungen wesentlich beeinflußt; für die pseudoeuklidische Metrik der speziellen Relativitätstheorie spielt dies keine Rolle, in der allgemeinen Relativitätstheorie hingegen ergibt sich die Notwendigkeit einer Korrektur; die neunen Gleichungen gibt Verf. in der Form \[ \mathfrak {S} \psi _{\mu } + \chi _{\mu }^{\nu } \psi _{\nu } = 0 \quad (\mu = 0,1,2,3) \tag{1} \] für die kovarianten Komponenten \(\psi _{\mu }\) eines Vektors \(\overline {\psi }\); darin ist \(\mathfrak {S}\) der \textit{Schrödinger}sche Operator und \[ \chi _{\mu }^{\nu } = Cg_{\mu \varrho } \varepsilon ^{\varrho \nu \sigma \tau } F_{\sigma \tau } \] ein Tensor, in dem \(F_{\sigma \tau }\) den schiefsymmetrischen Tensor der elektromagnetischen Kräfte und \(\varepsilon ^{\varrho \nu \sigma \tau }\) den kontravarianten \textit{Ricci}tensor bedeuten. Die aus (1) gezogenen Folgerungen stimmen bis auf Glieder dritter Ordnung mit denen der \textit{Dirac}schen Gleichungen in pseudocartesischen Koordinaten überein, wenn man \[ C = \frac {\pi e}{ch} \] setzt. die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Raumzeitelement ist dann \[ | g^{\mu \nu } \psi _{\mu } \overline {\psi }_{\nu }| \cdot \sqrt {-g} \cdot dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \quad (x^0 = \; \text{Zeit}). \] Dann normalen Differentialsystem (1) ist nach \textit{Hadamard} eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung zugeordnet, deren Lösungen \(z(x^0, x^1, x^2, x^3)=\) const als Wellenfronten gedeutet werden können; deren Elemente beschreiben Bahnkurven, die durch die zugehörigen Gleichungen der Charakteristiken gefunden werden. Durch diese bekannte mathematische Theorie wird jedem physikalischen Ereignis sowohl ein Wellen- als auch ein korpuskularer Charakter beigelegt. Aus (1) folgt auf diesem eleganten Wege für die Wellenlänge die Verallgemeinerung der \textit{de Broglie}schen Gleichung \[ \lambda = \frac {h}{\sqrt {g_{00}} \cdot mv}. \tag{2} \] Drei Anhänge behandeln mathematisch: 1) Eine symmetrische Methode, um von dem Variationsprinzip von \textit{Einstein} zu den Differentialgleichungen überzugehen; 2) Beispiele und Kriterien, um Differentialgleichungen von speziellen auf allgemeine Koordinaten zu transformieren; 3) die Ableitung von (2) aus (1) mittels der Charakteristikentheorie.