Die Erweiterung des Laplace-Lagrangeschen Theorems der Unveränderlichkeit der großen Achsen der Planetenbahnen auf die kommensurablen und nahekommensurablen Bewegungsformen. (Q2621116)

Der Beweis des \textit{Laplace-Lanrange}schen Satzes über die Konstanz der großen Achsen von Planetenbahnen in seiner klassischen Form gilt wegen des Auftretens kleiner Divisoren nicht mehr für nahezu kommensurable Bewegungen. Trotzdem gelingt es Verf., diesen Satzt jetzt auch für die Sonderfälle zu beweisen. Dazu erweitert er zunächst das bekannte \textit{Jacobi}sche Integral des Asteroidenproblems, das eine Kreisbahn des störenden Körpers voraussetzt, auf den Fall, daß sich der störende Planet in einer Ellipse bewegt. Es ist dann allerdings nicht mehr algebraisch, sondern zu einer Itegralgleichung geworden. Es tritt das Integral \(\int \frac {\partial \Omega }{\partial t} dt\) auf, wobei \(\Omega \) die Störungsfunktion bedeutet. Wenn die mittleren Bewegungen des störenden und des gestörten Körpers nahezu kommensurabel sind, gibt es, wie \textit{Tisserand} für den Fall einer Kreisbahn des störenden Körpers festgestellt hat, ein weiteres Integral. Auch dieses verallgemeinert Verf., wobei er wieder auf den Ausdruck \(\int \frac {\partial \Omega }{\partial t} dt\) stößt. Die Elimination desselben mit Hilfe des \textit{Jacobian}schen Integrals ergibt eine algebraische Beziehung. Aus ihr folgt, daß in der Nähe einer Kommensurabilitätsstelle die Halbachse \(a\) nach Potenzen von \(\sqrt {m'}\) in eine konvergente Reihe entwickelt werden kann, wobei \(m'\) die Masse des störenden Körpers bedeutet. Eine gleiche Reihentwicklung muß dann auch für die Exzentrizität \(e\) möglich sein. Aus der algebraischen Gleichung für \(a\) folgt unmittelbar der Satz von der säkularen Konstanz der großen Halbachse. Allerdings sind die periodischen Störungen der nahezu kommensurablen Bahnen um den Faktor \(\frac {1}{\sqrt {m'}}\) größer als im Normalfall. Bei Jupiter als störenden Körper bedeutet das eine Vergrößerung auf das 32-fache.