A set of postulates for the foundation of logic. I, II. (Q2621423)

Seitdem \textit{Russell} zur Vermeidung von Paradoxien seine Typentheorie in Verbindung mit dem Reduzibilitätsaxiom aufgestellt hat, sind mehrere Versuche gemacht worden, eine philosophisch befriedigendere Grundlegung der Logik zu erzielen, z. B. von \textit{Chwistek}, der bei Beibehaltung der Typentheorie das Reduzibilitatsaxiom fallen ließ, dafüir aber wesentliche Teile der Mathematik preisgeben mußte; auch haben \textit{Whitehead} und \textit{Russell} selbst in der Einleitung zur zweiten Auflage der ``Principia Mathematica'' einen wesentlich befriedigenderen Grundgedanken entwickelt, der aber im Hauptteil nicht berücksichtigt worden und über einen bloßen Ansatz nicht hinausgediehen ist. Auch die vorliegenden beiden Arbeiten gehören in diese Reihe, unterscheiden sich aber von allen andern Versuchen dadurch, daß der engste Anschluß an das inhaltliche logische Denken gesucht wird. Eine Typentheorie, die, wie man zu- geben muß, immer etwas Künstliches hat, wird nicht mehr zugrundegelegt. Als den Grundgedanken, der die Paradoxien vermeiden soll, bezeichnet Verl. eine ``gewisse Einschränkung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten''. Dieser Ausdruck ist nicht ganz glücklich gewählt; denn mit intuitionistischen Gedankengängen hat die Arbeit gar nichts zu tun. Was der Verf. hier so nennt, ist vielmehr die dem inhaltlichen logischen Denken durchaus entsprechende Zulassung der Möglichkeit, daß ein Prädikat auf gewisse Dinge angewendet weder eine wahre noch eine falsche Aussage ergibt. Z. B. ist es wohl richtiger, den Satz ``die Zahl 2 ist rot'' als sinnlos, denn als falsch zu bezeichnen. Der ganze, scheinbar komplizierte Aufbau bei dem Verf. hat nun den Zweck, das logische Operieren auf die wirklichen Anssagen zu beschränken. Auf Einzelheiten des Axiomensystems kann hier nicht eingegangen werden; es sei nur bebemerkt, daß das System von der ersten Stufe ist, indem ähnlich wie bei \textit{Schönfinkel} (1924; F. d. M. 50, 23 (JFM 50.0023.*)) ``Prädikate'', ``Funktionen'', ``Aussageverknüpfungen'' als Dinge auftreten. In diesem Bereich von Dingen hat man eine einzige Belegungsfunktion mit zwei Argumenten, die uns das Ding angibtt das neu entsteht, wenn ein Ding, etwa ein ``Prädikat'', in ein andres Ding, etwa ein ``Prädikatenprädikat'', eingesetzt wird. Tatsächlich kann Verf. zeigen, daß die Paradoxien der üblichen Form nicht in dem System auftreten. Sicherheit in dieser Beziehung wird man allerdings ohne einen Widerspruchsfreiheitsbeweis, der hier erhebliche Schwierigkeiten machen würde, nie haben. (Verf. halt ihn übrigens wenigstens für möglich, da er glaubt, daß die \textit{Gödel}schen Ergebnisse auf sein System nicht anwendbar sind.) So ist es auch nicht erstaunlicht daß der Verf. in der zweiten Arbeit genötigt war, sein System einer Revision zu unterziehen, da es sich zeigte, daß die \textit{Russell}sche Paradoxie zwar nicht in der ursprünglichen, aber in modifizierter Form auftrat. Jedenfalls befriedigt der vorliegende Ansatz einer typenlosen Logik nach der Auffassung des Referenten von einem prinzipiellen Standpunkt aus am meisten. Ob es allerdings auf diese WeiBe wirklich gelingen wird, die Klippe der Paradoxien zu vermeident wird erst die Zeit lehren. Verf. beabsichtigt, demnächst die Theorie der ganzen, rationalen und reellell Zahlen aus seinem System heraus zu entwickeln.