Infinitesimalrechnung III. (Q2621499)

Verf. berichtet über seine im Sommer 1933 an der Universität Bonn gehaltene Vorlesung ``Infinitesimalrechnung III'', über die Gründe, die ihn zur Abhaltung dieser Vorlesung veranlaßt haben, über ihren Aufbau und Gegenstand. Er hat darin folgende Kapitel behandelt: I. Vertauschung von Grenzprozessen. Mehrfache Integrale. II. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Systeme von solchen. III. Lineare Differentialsysteme. Sukzessive Approximation. IV. Implizite Funktionen, Funktionaldeterminanten, Umkehrung von Transformationen, Extrema mit Nebenbedingungen. V. Die Mechanik vom Standpunkt der Variationsrechnung aus. VI. Fouriersche Reihen. Zu der Bemerkung des Verf., es handle sich hier um eine ``neue Vorlesungseinheit'', kann erganzend berichtet werden, daß an der Universität Berlin als Erganzung zu der zweisemestrigen Vorlesung über Differential- und Integralrechnung eine derartige Vorlesung, allerdings mit teilweise andrer Stoffauswahl, regelmaßig seit einer Reihe von Jahren \textit{von Erhard Schmidt} oder dem Referenten abgehalten wird. Dann geht Verf. näher auf die einzelnen Kapitel seiner Vorlesung ein, insbesondere auf das erste Kapitel, indem er die Frage nach der Vertauschbarkeit zweier Grenzübergänge am Beispiel einer Doppelfolge \(a_{pq}\) untersucht. Von dieser sagt Verf., sie heiße ``vertauschbar'', wenn jede Zeile für sich einen Limes, den ``Zeilenlimes'' \(z_p\), und jede Spalte für sich einen Limes, den ``Spaltenlimes'' \(s_q\), besitzt: \[ \lim _{q\to \infty } a_{pq}=z_p,\quad \lim _{p\to \infty } a_{pq}=s_q, \] wenn ferner die Zeilenlimites eine konvergente Folge mit dem Limes \(z\) und die Spaltenlimites eine konvergente Folge mit dem Limes \(s\) bilden, und wenn \(z=s\) ist. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die (wie üblich erklärte) Konvergenz der Doppelfolge für die Vertauschbarkeit nicht notwendig ist. Um zu einer notwendigen und hinreichenden Bedingung zu gelangen, führt Verf. den ``finiten Ausschnitt'' einer Doppelfolge als eine Teilmenge der Doppelfolge ein, die aus jeder Zeile und aus jeder Spalte höchstens endlich viele Elemente enthält, und er gelangt so zu dem Satz von \textit{F. London} (1900; F. d. M. 31, 245 (JFM 31.0245.*)-249): Eine Doppelfolge ist dann und nur dann vertauschbar, wenn alle Zeillen- und alle Spaltenlimites existieren, und wenn man aus ihr einen finiten Ausschnitt so herausstreichen kann, daß Jeder finite Ausschnitt des Restes konvergiert. Es folgen Bemerkungen über zeilenweise und spaltenweise gleichmäßige Konvergenz einer Doppelfolge, durch die sich - ebenso wie der Satz von \textit{London} - auch ein Satz von \textit{Hahn} (Theorie der reellen Funktionen Bd. I, 1921; F. d. M. 48, 261 (JFM 48.0261.*)-264) in eine einfache Form bringen läßt. (IV 2.)