A simple method of establishing relations between theta functions of zero argument. (Q2621654)

Verf. gibt eine Herleitung der bekannten Beziehungen \[ \begin{gathered} \vartheta _1'=\vartheta _2\cdot \vartheta _3\cdot \vartheta _0, \tag{1}\\ \frac {\vartheta _1'''}{\vartheta _1'}=\frac {\vartheta _2''}{\vartheta _2} +\frac {\vartheta _3''}{\vartheta _3} +\frac {\vartheta _0''}{\vartheta _0}, \tag{2}\\ \vartheta _3^4=\vartheta _2^4+\vartheta _0^4, \tag{3} \end{gathered} \] ohne nach erfolgter Definition der vier Theta- Funktionen, der Bestimmung ihrer Periodizitätsfactoren und der Aufstellung der Gleichung \[ \frac {\partial \vartheta (v,\tau )}{\partial \tau }= \frac {\pi }{4i}\frac {\partial ^2\vartheta (v,\tau )}{\partial v^2} \] noch Grenzprozesse ausführen zu müssen. (Die Schreibweise ohne Argument bedeutet \(v=0\) bei festgehaltenem \(\tau \).) Zu diesem Zweck macht Verf. von der leicht herleitbaren Beziehung \[ \frac {\partial }{\partial v}\left ( \frac {\vartheta _{\alpha }(v)}{\vartheta _{\beta }(v)}\right ) = \varphi (\tau )\frac {\vartheta _{\gamma }(v)\vartheta _{\delta }(v)} {\vartheta _{\beta }^{2}(v)} \tag{4} \] Gebrauch, wo \(\alpha,\beta,\gamma,\delta \) eine Permutation von 1, 2, 3, 0 ist und \(\varphi (\tau )\) für den Fall \(v=0\) unabhängig von (1) definiert werden kann. Die Anwendung gewisser aus (4) abzuleitender Relationen führt zu der behaupteten Gleichung (1), wobei sich für den Fall \(\alpha =1\) noch die Beziehung (2) und im Falle \(\alpha \neq 1\) und \(\beta \neq 1\) die Beziehung (3) ergibt.