Textilgeometrie und Abelsche Integrale. (Q2621662)

Die neuere Entwicklung der besonders vom Verf. behandelten ``topologischen Fragen der Differentialgeometrie'' hat auf gewisse Umkehrungen des \textit{Abel}schen Theorems geführt, d. h. auf Sätze des Inhalts, daß\^^MFunktionalgleichungen von der Form der Aussagen des \textit{Abell}schen Theorems bei geeigneter Veränderlichenzahl bis auf naheliegende Transformationen der Veränderlichen nur von den betreffenden \textit{Abell}schen Integralen erfüllt werden. Der Verf. berichtet über Ergebnisse und ungelöste Fragen dieses Gedankenkreises. Die Gleichungen \[ t_{i1}(x_1,\cdots,x_s)=\text{const}, \cdots,t_{ir}(x_1,\cdots,x_s)=\text{const}, \] bestimmen die allgemeine \((s-r)\)-dimensionale Mannigfaltigkeit der \(i\)-ten Schar eines \(n\)-Gewebes (wenn für die Werte \(1,\cdots,n\) zugelassen sind) im \(s\)-dimensionalen Raume. Der Rang des Gewebes ist die Höchstzahl linear unabhängiger Identitäten \[ \sum \limits _{i=1}^{n}f_i(t_{i1},\cdots,f_{ir})=0. \] Es werden - besonders bei den anschaulichen Dimensionzahlen \(s=2\) und \(s=3\) -die Fragen nach der Existenz von Geweben eines bestimmten, z. B. des höchsten Ranges und nach den allgemeinsten solchen Geweben behandelt. (V 2, 6 B.)