Über die Entwicklungskoeffizienten einer allgemeinen Klasse automorpher Formen. (Q2621667)

Die Entwicklungskoeffizienten von Modulformen, ebenso ihre summatorischen Funktionen, liefern Beispiele interessanter arithmetischer Funktionen, wie die Anzahl der Partitionen natürlicher Zahlen, die Anzahl der Gitterpunkte in Ellipsoiden usw., und es hat großes Interesse, hierfür asymptotische Formeln zu gewinnen. Man kann sich hierzu der bekannten \textit{Hardy-Littlewood}schen Methode bedienen. Einfachere Methoden werden jedoch von der Theorie der Modulformen selbst geliefert, die der Verf. in allgemeiner Gestalt in der zweiten Arbeit darstellt, während er in der ersten Arbeit eine kurze Übersicht gibt. Sei z. B. \(\varGamma (N)\) die Hauptkongruenzuntergruppe \(N\)-ter Stufe der Modulgruppe \(\varGamma (1)\), \(A=\begin{pmatrix} a_0 & a_3\\ a_1 & a_2 \end{pmatrix} \) eine Matrix aus \(\varGamma (1),\mathfrak S(A) \) ein volles System von Matrizen \newline \(M=\begin{pmatrix} m_0 &m_3\\ m_1 & m_2 \end{pmatrix} \) aus der Nebengruppe \(A\varGamma (N)\) mit verschiedenen zweiten Zeilen \(m_1,m_2\), und \(M(\tau )=\dfrac {m_0\tau +m_3}{m_1\tau +m_2}\). Eine in der oberen Halbebene \(\mathfrak H:J(\tau )>0\), reguläre modulform \(N\)-ter Stufe und \((-r)\)-ter Dimension läßt sich als Linearkombination von endlichvielen der Reihen \[ G_{-r}(\tau ;A,N;\nu )=\sum \limits _{M\subset \mathfrak S(A)} \frac {e^{2\pi i\tfrac {M(\tau )}{N}\nu }}{(m_1\tau +m_2)^r} \] darstellen, wo \(\nu \) gleich geeigneten ganzen rationalen Zahlen ist; für \(r=2\) sind hier noch konvergenzerzeugende Faktoren nach \textit{Hecke} anzubrigen. Die so definierten Funktionen \(G_{-r}(\tau ;A,N;\nu )\) sind in \(\mathfrak H\) regulär, ebenso in den zu \(-\dfrac {a_2}{a_1}\) nicht äquiva\-lenten Spitzen, wo sie verschwinden; in den hierzu äquiva\-lenten Spitzen haben sie dagegen für \(\nu <0\) einen Pol der Ordnung \(| \nu | \), sind regulär und \(\neq 0\) für \(\nu =0\), und verschwinden für positives \(\nu \). Nach Potenzen von \(e^{\tfrac {2\pi i\tau }{N}}\) entwickelt ist etwa \[ G_{-r}(\tau ;A,N;\nu )=\sum \limits _{n=-k}^{\infty } a_ne^{2\pi i\tfrac {\tau }{N}n}, \] wobei nur endlichviele negative Exponenten auftreten. Für \(\nu =0\) ist dann nach früheren Untersuchungen \[ a_n=Cn^{r-1}\mathfrak S_r(n)=Cn^{r-1} \quad \underset {_{\substack{ m_1\equiv a_1(N)\\ m_1\neq 0}} } {\sum } \frac {S_{m_1}(n)}{| m_1| ^r}, \] wo \(S_{m_1}(n)\) eine Summe gewisser Einheitswurzeln bezeichnet und \(\mathfrak S_r(n)\) also von der Art der \textit{Hardy-Littlewood}schen singulären Reihen ist. Für \(\nu \neq 0\) leitet Verf. die Reihenentwicklung \[ a_n=Cn^{\tfrac {r-1}{2}} \quad \underset {_{\substack{ m_1\equiv a_1(N)\\ m_1\neq 0}} } {\sum } \frac {W_{m_1}(n,\nu )}{| m_1| } J_{r-1}\left ( 4\pi \frac {\sqrt {\nu n}}{N| m_1| }\right ) \tag{1} \] ab, in der \(J_{r-1}\) für die \textit{Bessel}sche Funktion und \(W_{m_1}(n,\nu )\) für eine sogenannte \textit{Kloosterman}sche Summe steht. Im Falle der absoluten Invariante \[ j(\tau )=\frac {1}{12^3}e^{-2\pi i\tau }+\sum \limits _{0}^{\infty } \alpha _ne^{2\pi in\tau } \] findet man so \[ \alpha _n=\frac {\pi i}{12^3\sqrt n}\sum \limits _{m_1\neq 0} \frac {W_{m_1}}{| m_1| } J_1\left ( -4\pi i\frac {\sqrt n}{| m_1| }\right ) \qquad (n\geqq 1) \] mit \[ W_{m_1}=\underset {_{\substack{ j\mod m_1\\(j,m_1)=1}} } {\sum } e^{2\pi i\tfrac {jn-h}{m_1}}, \qquad hj\equiv 1(m_1). \] Aus den erhaltenen exakten Reihenentwicklungen werden asymptotische Formeln gewonnen, indem nur über \(m_1\)-Werte mit \(| m_1| \leqq \sqrt n\) summiert und der Rest vernachlässigt wird; alsdann müssen Abschätzungen für die auftretenden \textit{Kloosterman}schen Summen (von \textit{Kloosterman, Estermann, Walfisz, Salié}) herangezogen werden. Ist z. B. \(\nu <0\), und durchläuft \(n\) eine geeignete arithmetische Progression, so ergibt sich auf diese Weise \[ a_n=Cn^{\tfrac {r}{2}-\tfrac {3}{4}}e^{c\sqrt n} \left ( 1+O\left ( \frac {1}{\sqrt n}\right ) \right ) \] mit Konstanten \(C\neq 0, c>0\). Für \(\nu <0\) ist die Größenordnung der \(a_n\) dagegen nur eine Potenz von \(n\). Die Zerlegung der Modulform in eine lineare Kombination der Reihen \(G_{-r}\) führt zu entsprechenden allgemeinen Entwicklungen: \[ c_n=L_n+n^{r-1}\mathfrak S_r^{*}(n)+O\left ( n^{\tfrac {r}{2}-\tfrac {n}{2}}\right ), \] wobei \(L_n\) aus endlich vielen Termen (1) bestent, wo aber nur über \(| m_1| \leqq O(\sqrt n)\) summiert wird, und \(\mathfrak S_r^{*}(n)\) eine Linearkombination aus endlich vielen \(\mathfrak S_r(n)\), ferner \(\varkappa \geqq 0\) eine Konstante ist, die von der bekannten Größenordnung der \textit{Kloosterman}schen Summen abhängt. Im Fall \(r=2\) kommt man zu einer noch besseren Restabschätzung; wenn hier eine Teilfolge der Koeffizienten \(c_n\) rational ist und der Nenner jedes Gliedes in der festen natürlichen Zahl \(d\) aufgeht, so kann \(d\cdot c\) genau erhalten werden, nämlich als die nächste ganze Zahl zu einem Ausdruck, der sich wieder als Summe von endlichvielen, nämlich \(O(\sqrt n)\), Gliedern ähnlich wie vorhin ergibt. So z. B. ist für hinreichend großes \(n\) der Koeffizient \(\alpha _n\) von \(j(\tau )\) zuletzt gleich der nächsten zu \[ \frac {\pi i}{12^3\sqrt n} \sum \limits _{0<| m_1| \leqq \sqrt n} \frac {Wm_1}{| m_1| }J_1 \left ( -4\pi i\frac {\sqrt n}{| m_1| }\right ) \] gelegenen rationalen Zahl des Nenners \(12^3\). Die Methode der Arbeit kann sinngemäß\ auf beliebige Grenzkreisgruppen und die zugehörigen automorphen Formen angewendet werden. Bei den Untergruppen der Modulgruppe von endlichem Index hat man jedoch den Vorteil, gute Abschätzungen für die \textit{Kloosterman}schen Summen zu kennen; auch kann man hier aus den \(G_{-r}\) alle Formen gewinnen und bedarf zu diesem Zweck nur der Kenntnis des Verhaltens derselben in der Spitzen eines Fundamentalbereiches.