Convergence et compacité dans les classes de fonctions quasi-analytiques (D). (Q2621711)

Es sei eine Klasse von quasi-analytischen Funktionen \(\varphi (x)\) in einem endlichen abgeschlossenen Intervall definiert und durch die positive Zahlenfolge \(\{ A_n\}\) gegeben. Ein \(\varphi (x)\) soll zum Typus \(s\) gehören, wenn die Folge \[ \frac {| \varphi (x)| }{A_0},\quad \frac {| \varphi '(x)| }{A_1s}, \cdots,\frac {| \varphi ^{(r)}(x)| }{A_rs^r},\cdots \] (wo \(x\) in dem Intervall variiert) nach oben beschränkt ist. Die obere Grenze heißt die Norm \(\| \varphi \| \) von \(\varphi \). Diese Eichung macht aus den Funktionen vom Typus \(s\) eine abstrakte Vektormannigfaltigkeit. Definiert man ``Konvergenz'' auf Grund dieser Eichung, so erhält man Aussagen über die Nullstellenverteilung, die denen bei gleichmäßig konvergenten, regulären Funktionen ganz analog sind, z. B: Wenn die Grenzfunktion einer konvergenten Folge nur einfache Nullstellen hat, die alle im Innern des Intervalls liegen, so haben die Gleider der Folge von einer Stelle an dieselbe Anzahl von Nullstellen, und diese konvergieren gegen jene. Auf Grund dieses Konvergenzbegriffs läßt sich die Kompaktheit definieren. Für kompakte Scharen gelten ähnliche Sätze wie für normale Scharen regulärer Funktionen. (IV 4.)